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Problèmes d’algèbre linéaire 2ème partie ______________ « La langue de l’algèbr

Problèmes d’algèbre linéaire 2ème partie ______________ « La langue de l’algèbre, mystérieuse et lumineuse, me saisissait. Ce que j’admirais surtout dans cet idiome, c’est qu’il ne consent à exprimer, à articuler que des vérités générales, universelles, et qu’il dédaigne les vérités particulières. Je lui attribuais en cela une fierté que je refusais aux idiomes humains ; à ce point de vue l’algèbre me semblait la langue du Dieu de l’esprit. » Edgar Quinet, Histoire de mes idées Sont ici réunis quelques dizaines de problèmes d’algèbre linéaire, mis au point au cours de trente années d’enseignement, de 1979 à 2014. En somme, pour reprendre la jolie expression de Laurent Schwartz, il s’agit de mon « château intérieur » linéaire : tours de guet, donjon, redoutes, murs d’enceinte, machicoulis, pont-levis, douves, j’espère que rien ne manque à ce très pacifique monument d’architecture militaire. Une forteresse de mathématiques est toujours, en quelque manière, une forteresse contre les mathématiques, mais c’est d’abord, et avant tout, une façon efficace de compléter le cours, et d’organiser les savoirs. Les énoncés ont des sources diverses : cours de taupe, manuels français et étrangers, problèmes et exercices de concours (les références sont indiquées chaque fois que possible), mais ils ont parfois été remaniés à des fins pédagogiques. Il arrive souvent que plusieurs problèmes abordent le même thème : un professeur est obligé de poser régulièrement un problème sur un sujet important, avec de légères variantes selon les idées mises en valeur ou l’état d’avancement du programme. Ainsi, plusieurs énoncés portent sur les pseudo-inverses (thème fort à la mode dans les années 1980), les produits tensoriels, les endomorphismes monogènes, le théorème de Jordan... Enfin, la plupart de ces problèmes sont corrigés. Pierre-Jean Hormière ____________ Documents : Adhérence d’une classe de similitude : RMS novembre 1990, p. 198 (Sifre) Dimension maximale d’un sev de Mn(C) ne rencontrant pas Gln(C) : RMS 1988-89 n° 7, 1989-90 n° 2 et 8 (Barani, Exbrayat, Clarisse) Dimension maximale d’une sous-algèbre commutative de Mn(C) : RMS Octobre 1993, p. 186 ; ENS 1998, Oral n° 294 ; ENS 2005, Oral n° 149, RMS mai 2006. Dimension maximale d’un sous-espace formé de matrices diagonalisables : RMS mars 1992, Randé Hyperplans de Mn(K) stables par le crochet de Lie : RMS 2001 n° 3, p. 234, Gozard Sous-espaces vectoriels de matrices nilpotentes : RMS oct 2007, de Seguins Pazzis Sous-espaces vectoriels de matrices de rang au plus p : RMS mai 2008, de Seguins Pazzis Dénombrement de matrices nilpotentes d’indice donné : RMS septembre 2010 2 40. L’algèbre Kn, algèbres diagonales. 41. D’Hamilton à Frobenius. 42. Matrice de Vandermonde des racines de l’unité. 43. Primarité des nombres de Mersenne. 44. Matrices de tournoi. 45. Théorème de l’amitié d’Erdös. 46. Graphes et arbres ; théorème de Borchardt-Cayley. 47. Propriétés du polynôme caractéristique. 48. Un théorème de Kronecker. 49 et 50. Résultant et déterminant d’Hermite. 51 et 52. Endomorphismes monogènes. 53. Equations matricielles du second degré. 54. Racines carrées de matrices. 55. Endomorphismes semi-simples. 56, 57, 58. Endomorphismes nilpotents. 59. Trace. 60. I est-il un commutateur ? 61. Trace et commutateurs. 62. s-triplets. 63. Algèbres de Lie, théorème de Lie. 64. Endomorphismes de L L L L(E), de Mn(K). 65 et 66. Produits kroneckériens. 67. Topologie matricielle. 68. Géométrie matricielle. 69, 70, 71. Matrices stochastiques. 72. Puissances d’une matrice. 73. Contractions larges. 74. Applications semi-linéaires. 75. Fonctions propres d’un noyau. 76. Matrices à éléments polynomiaux. 77. Générateurs de Sl2(Z) et Gl2(Z). 78. Matrices à éléments dans un anneau euclidien. 79. Modules sur les anneaux commutatifs. ___________ 3 Problème 40 : Algèbres diagonales Rappels et notations : Soit K un corps commutatif. On rappelle qu’une K-algèbre est un K-espace vectoriel A muni d’une multiplication interne (x, y) ∈ A×A → x.y ∈ A qui est K-bilinéaire. L’algèbre A est dite commutative, resp. associative, resp. unifère, si la multiplication interne est commutative, resp. associative, resp. unifère. Si A est une K-algèbre commutative et unifère d’unité 1A, on appelle : • idéal de A tout sous-espace vectoriel I de A vérifiant ∀(x, y) ∈ I×A x.y ∈ I ; • sous-algèbre de A tout sous-espace vectoriel B contenant 1A et vérifiant ∀(x, y) ∈ B×B x.y ∈ B. Enfin, si A et B sont deux K-algèbres unifères d’unités 1A et 1B, un morphisme d’algèbres de A dans B est une application linéaire f : A → B vérifiant f(1A) = 1B et ∀(x, y)∈A×A f(x.y) = f(x).f(y). Dans ce problème, on munit Kn, où n ≥ 2, des trois lois : • Addition : (x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, … , xn + yn) • Multiplication externe : λ.(x1, x2, … , xn) = (λx1, λx2, … , λxn) • Multiplication interne : (x1, x2, … , xn).(y1, y2, … , yn) = (x1.y1, x2.y2, … , xn.yn) Il est clair que ces trois lois confèrent à Kn une structure de K-algèbre commutative et associative. A. Première partie : caractères et automorphismes de Kn. 1) On note B B B B = (e1, e2, … , en) la base canonique de Kn, où ei = (0, ..., 0, 1, 0, …, 0), le 1 étant à la i-ème place. Calculer ei.ej. Montrer que Kn admet un élément unité (pour la multiplication). Quels sont les éléments inversibles de Kn ? 2) Etablir que les seuls homomorphismes f d’algèbre de Kn dans K sont les formes linéaires (c1, c2, … , cn) où ci est la i-ème forme coordonnée dans la base E, c’est-à-dire l’application x = (x1, x2, … , xn) → xi ; on pourra utiliser les images par f des vecteurs de E. 3) Soit f un automophisme d’algèbre de Kn (homomorphisme bijectif). Si χ est un homomor- phisme d’algèbre de Kn dans K, que dire de χ o f ? En déduire tous les automorphismes d’algèbre de Kn. Pourquoi y en a-t-il n! ? B. Deuxième partie : idéaux, sous-algèbres de Kn. 1) Soit I un idéal de Kn. On note 1 c , 2 c , …, n c les restrictions de c1, c2, … , cn à I et l’on suppose ici qu’il existe k tel que 1 c , …, k c soient non nulles, 1 + k c , …, n c soient nulles. a) Montrer que e1, e2, … , ek appartiennent à I. b) Montrer que I = { x = (x1, x2, … , xn) ; xk+1 = … = xn = 0 }. 2) A l’aide de 1), trouver la forme générale des idéaux de Kn. Combien y en a-t-il ? Si 0 ≤ k ≤ n, combien y a t-il d’idéaux de dimension k ? 3) Si P est une partie de Kn, on appelle sous-algèbre de Kn engendrée par P l’intersection des sous-algèbres contenant P. Etant donné un élément a de Kn, démontrer que la sous-algèbre engendrée par a est Kn si et seulement si les coordonnées de a dans la base E sont toutes distinctes. 4) Soit A une sous-algèbre de Kn ; on note 1 c , 2 c , …, n c les restrictions de c1, c2, … , cn à A. 4 On suppose ici qu’il existe k tel que 1 c , 2 c , …, k c soient distinctes, et que, pour tout i > k, il existe j ≤ k vérifiant i c = j c . a) Etablir que 1 c , 2 c , …, n c sont toutes non nulles. b) Montrer que, pour tout couple (i, j) d’entiers tels que i ≠ j , 1 ≤ i ≤ k et 1 ≤ j ≤ k, il existe uij ∈ A tel que ci(uij) = 1 et cj(uij) = 0. c) En déduire l’existence, pour tout entier i allant de 1 à k, d’un wi ∈ A tel que : ci(wi) = 1 et cj(wi) = 0 pour tout j vérifiant j ≠ i et 1 ≤ j ≤ k . d) w1, w2, … , wk sont-ils liés ? Quelle est leur somme ? Quel est le sous-espace vectoriel de Kn qu’ils engendrent ? 5) Déduire de la question précédente une méthode de construction de toutes les sous-algèbres de dimension k de Kn . 6) a) Donner la liste des sous-algèbres de Kn dans les cas n = 2, n = 3, n = 4. Il est signalé que, par exemple, l’ensemble des (α, α, β), où (α, β) décrit K2, est une sous-algèbre de dimension 2 de K3. On demande, pour chacune des sous-algèbres de Kn, de donner un mode de génération analogue à celui-là. b) Combien Kn a-t-elle de sous-algèbres de dimension 2, de dimension n − 1 ? c) Interprétation combinatoire du nombre S(n, k) des sous-algèbres de dimension k de Kn. C. Troisième partie : algèbres diagonales. Une K-algèbre A de dimension finie n est dite diagonale si elle admet une base (e1, e2, … , en) telle que ∀(i, j) ei.ej uploads/Litterature/ problemes-d-x27-algebre-lineaire.pdf