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FILIERE : S.M.P. KAMAL GUERAOUI Professeur de l’Enseignement Supérieur et Respo

FILIERE : S.M.P. KAMAL GUERAOUI Professeur de l’Enseignement Supérieur et Responsable de l’Equipe de Modélisation Théorique et Numérique en Mécanique des Fluides et en Environnement ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2009 ― 2010 1 UNIVERSITÉ MOHAMMED V-AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES - RABAT DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE 2 ............6 ...................................................................................7 ........9 I- Pression et Force.....................................................................................................................................................10 II- Unités de pression..................................................................................................................................................10 III- Notions de pressions absolue et relative............................................................................................................11 IV- L'équation de l'hydrostatique..............................................................................................................................11 IV-1. Formulation mathématique.............................................................................................................................11 IV-2. Exemple ................................................................................................................................................12 IV-3. Remarque : cas des gaz...................................................................................................................................13 IV-4. Interface entre deux fluides.............................................................................................................................13 V- Corps immergés : Principe d'Archimède.............................................................................................................14 VI- Action d’un fluide sur une paroi.........................................................................................................................15 VI-1. Force exercée sur un élément de surface.....................................................................................................15 VI-2. Cas d’une paroi plane...................................................................................................................................16 VI-3. Cas d’une paroi Cylindrique.........................................................................................................................17 ......19 I- Description d’un fluide en mouvement.................................................................................................................20 I-1. Représentation eulérienne et représentation lagrangienne...........................................................................20 I-1.1 Représentation lagrangienne...................................................................................................................20 I-1.2 Représentation eulérienne.......................................................................................................................20 II- Définitions.........................................................................................................................................................21 II-1. Ecoulement permanent.............................................................................................................................21 II-2. Ecoulement uniforme...............................................................................................................................21 II-3. Ecoulement plan........................................................................................................................................21 II-4. Ecoulement irrotationnel..........................................................................................................................21 II-5. Ligne de courant à un instant 0 t fixe....................................................................................................21 II-6. Tube de courant.........................................................................................................................................21 II-7. Ligne d’émission.......................................................................................................................................22 II-8. Trajectoires................................................................................................................................................22 III- Equation de continuité........................................................................................................................................22 III-1. Dérivation suivant la méthode d’Euler........................................................................................................22 III-2. Théorème de la divergence...........................................................................................................................23 3 III-3. Théorème de l’intégrale nulle......................................................................................................................23 III-4. Equation de continuité..................................................................................................................................23 III-5. Vitesse et accélération...................................................................................................................................25 III-5.2 Accélération............................................................................................................................................25 III-6. Conservation du débit...................................................................................................................................25 III-6.1 Définitions................................................................................................................................................25 III-6.2 Conservation du débit...........................................................................................................................26 III-6.3 Expression du débit en fonction de la vitesse v...................................................................................26 III-6.4 Vitesse moyenne.....................................................................................................................................27 III-7. Théorème de BERNOULLI............................................................................................................................27 III-7.1 Le phénomène.......................................................................................................................................27 III-7.2 Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible........28 III-7.3 Démonstration :.....................................................................................................................................28 III-7.4 Equation transversale...........................................................................................................................31 III-8. Applications....................................................................................................................................................32 III-8.1 Phénomène de Venturi.........................................................................................................................32 III.8.2 Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli................................32 III-8.3 Vidange d’un réservoir.........................................................................................................................33 III-9. Théorème global d’Euler..............................................................................................................................34 ..........36 I- Introduction.............................................................................................................................................................37 II- Coordonnées généralisées.................................................................................................................................37 III- Contraintes géométriques...................................................................................................................................38 III-1. Définition........................................................................................................................................................38 III-2. Liaison holonome...........................................................................................................................................39 III-3. Contrainte non holonome...............................................................................................................................39 IV- Centre de gravité..................................................................................................................................................39 IV-1. Cas d’un ensemble discret..............................................................................................................................39 IV-2. Cas d’un ensemble continu.............................................................................................................................39 V- Le paramétrage......................................................................................................................................................40 V-1. Paramètres de rotation.....................................................................................................................................40 V-1.1 Rotation propre (φ)....................................................................................................................................40 V-1.2 La nutation (θ)...........................................................................................................................................40 V-1.3 la Précession (ψ)........................................................................................................................................41 V-2. Paramètres de la translation............................................................................................................................41 V-3. Schéma du paramétrage...................................................................................................................................41 V- Référentiel principal d’inertie..........................................................................................................................42 V-1. Constatation.....................................................................................................................................................42 V-2. Conséquences...................................................................................................................................................42 VI- Energie cinétique..........................................................................................................................................43 4 VII- Energie potentielle........................................................................................................................................43 VII-1. Energie de la pesanteur :.............................................................................................................................43 VII-2. Energie élastique : (énergie potentielle du ressort)...................................................................................44 VIII- Equations de Lagrange................................................................................................................................44 VIII-1. Système conservatif....................................................................................................................................44 VIII-2. Champ des déplacements virtuels..............................................................................................................44 VIII-3. Equations de Lagrange..............................................................................................................................45 VIII-4. Intégrale première de l’énergie.................................................................................................................47 VIII-5. Le Lagrangien du système.........................................................................................................................47 VIII-6. Intégrale première du mouvement.............................................................................................................47 IX- Positions d’équilibre.............................................................................................................................................47 X- Etudes de la stabilité d’une position d’équilibre............................................................................................47 5 6 L’étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l’époque de la Grèce antique avec Archimède qui a découvert la notion de la poussée d’Archimède pour un fluide au repos. 7 Aujourd’hui, la mécanique des fluides est l’un des domaines de la recherche les plus actifs avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus, comme les problèmes de la pollution atmosphérique. La résolution des équations régissant ces problèmes complexes fait appel aux méthodes de résolution numériques. Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique des fluides passe par la définition du système matériel S, particules de fluide à l'intérieur d'une surface fermée limitant S. À ce système, on applique les principes et théorèmes généraux de mécanique et de thermodynamique à savoir : - principe de la conservation de la masse, - principe fondamental de la dynamique, - principe de la conservation de l'énergie. La mécanique des fluides concerne l’étude du comportement des fluides et des forces internes associées. Elle se divise en statique des fluides et dynamique des fluides : - Statique des fluides : C’est l’étude des fluides au repos - Dynamique des fluides : C’est l’étude des fluides en mouvement Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité. - l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace. - la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les contient. - la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel s'accompagne d'une résistance (frottements). 8 9 I- Pression et Force Les particules qui forment un fluide ne sont pas immobiles les unes par rapport aux autres. Elles sont agitées de façon désordonnée ce qui provoque de nombreux chocs entre elles et avec les parois. Par ces chocs, le fluide applique une force sur les parois. Ces forces sont appelées forces de pression. Considérons la figure ci-dessus représentant une enceinte contenant un fluide. Ce fluide exerce donc des forces sur chacune des parois. Ces forces sont dirigées vers l’extérieur de l’enceinte et sont perpendiculaires aux parois. Si on considère la face hachurée de surface S, le fluide lui applique une force F. On peut ainsi définir la pression P du fluide comme le rapport de cette force F et de la surface S : S F P  La pression représente donc la force qui s’exerce sur chaque unité de surface. II- Unités de pression Dans le système international, l’unité pour la force est le Newton, noté N, et l’unité de la surface est le mètre carré (m2). Par conséquent, l’unité dans le système international pour la pression sera le N/m2. Une unité a été inventée pour la pression : C’est le Pascal, noté Pa. On a par conséquent l’équivalence suivante : 1 Pa = 1 N/m2 Il existe de nombreuses autres unités de pression couramment employées dans l’industrie. bar : 1bar = 105 Pa Atmosphère (atm) : 1 atm=101325 Pa Millimètre de mercure (mmHg) ou torr : 1 mmHg=133,32 Pa 10 III- Notions de pressions absolue et relative Nous vivons dans un monde qui est baigné au sein d’un fluide : l’air. On désigne par pression atmosphérique la valeur de la pression de l’air ambiant. Cette valeur (que l’on mesure à l’aide d’un baromètre) fluctue en fonction des conditions météorologiques et de la zone géographique. Toutefois, la valeur de la pression atmosphérique oscille autour d’une valeur moyenne qu’on appelle pression atmosphérique normale qui vaut 101325 Pa. Lorsque la pression d’un fluide est supérieure à la pression atmosphérique on dit que ce fluide est sous pression. Lorsque la pression du fluide est inférieure à la pression atmosphérique, on dit que le fluide est sous vide. Une pression nulle (P=0 Pa) correspond à un vide parfait qui correspond en fait à une absence totale de particules (atomes ou molécules). On définit la pression relative, que l’on note P', par : atm P P P   ' P est la pression absolue. P et P' sont toutes deux des pressions et ont par conséquent la même unité. IV- L'équation de l'hydrostatique IV-1. Formulation mathématique La pression varie avec la hauteur dans le liquide. Un point du fluide sera donc représenté par son altitude notée z. L’altitude est la coordonnée du point sur un axe vertical et dirigé vers le haut. On fixera de manière arbitraire l’altitude 0 (l’origine) sur cet axe. On veillera tout de même à choisir une origine pratique comme par exemple le fond d’un réservoir, le centre d’une pompe, etc. Pour exprimer à l’aide d’une relation mathématique l’évolution de la pression au sein d’un fluide au repos, il convient de respecter scrupuleusement les hypothèses suivantes :  Le fluide doit être au repos.  Le fluide doit être homogène. On ne peut écrire de relation qu’au sein d’un seul et même liquide. On considère au sein de ce fluide homogène et au repos, deux points distincts 1 et 2, d’altitudes respectives z1 et z2, alors on peut écrire la relation suivante entre les pressions P1 et P2 : 2 2 1 1 . . . . z g P z g P fluide fluide      11 Où : g est l’accélération de la pesanteur. Cette relation est appelée équation de l’hydrostatique. On peut aussi l’écrire de la façon suivante : P + ρ.g. z = constante IV-2. Exemple La pression de l’eau dans l’océan à 15 m de profondeur est de 4 bar. On souhaite connaître la pression qui règne à 200 m de profondeur. La densité de l’eau de mer est de 1,02. On choisit l’origine des altitudes à la surface de l’océan. Le point A correspondant à une profondeur de 15 m aura donc une altitude négative zA=-15 m. De même, zB=-200 m. On aura de plus : 3 / 1020 1000 * 02 , 1 . m kg d eau mer mer      a A P bar P 400000 4   On peut raisonnablement considérer l’océan comme un fluide homogène et au repos (on supposera qu’il n’existe pas de courants marins). Par conséquent, on peut appliquer l’équation de uploads/Litterature/ polycopie-gueraoui-smp3-fluide.pdf