Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours12 FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2gt Abstract = What Is The Inverse Function ?

Cours12 FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2gt Abstract = What Is The Inverse Function ? Les « ** » sont à préciser sur simple demande. En annexe, la Pédagogie... Pourquoi des « ** » : très simple. Pour que ce texte serve à quelque chose. Ceci n'est pas un exercice de frappe au km de ce qui existe déjà dans les livres. C'est un document de travail qui a la prétention de saisir votre attention, de mériter vos remarques, puis de s'en trouver modifié et bonifié. En bref : Les fonctions homographiques généralisent la fonction INVERSE. On a déjà précisé que l'opposé de « x », l'inverse de « x », la réciproque d'une propriété, le contraire d'une variation, le symétrique d'une figure, la négation d'une assertion mathématique... toutes ces notions qui dans le langage courant « vont dans l'autre sens » ont une signification précise en maths. L'outil du développement** ne servira qu'à vérifier, essentiellement. A cause de la division qui partage**, il est ici doublé de la Réduction au Même Dénominateur** La méthode de la FACTORISATION sera, ici, moins utile qu'avec le 2nd degré... On retiendra que les fonctions homographiques sont 4 fois plus compliquées** que nécessaire, avec leurs coefficients a, b, m, p. Heureusement, elles se réduisent quand on les approche dans le bon sens des « 0 », des « oo », puis du « +1 en x » qui va bien. On obtient alors une meilleure expression avec ses alpha, beta, et k, trois coefficients seulement, et surtout qui ont chacun une signification identifiée, alors que les a, b, m, p sont flous ! 1 LA FONCTION INVERSE et son Hyperbole Standard (p078) 2 LA FONCTION HOMOGRAPHIQUE en « affine sur affine » (p097, 100) 3 la FORME REDUITE de l'homographique (p101) 4 EQUATIONS – INEQUATIONS (p119, 121) Références : le livre pages sid078 à 121 ; le ms2_2014 pages bag138 ; 1 LA FONCTION INVERSE et son Hyperbole Standard (p078) 11 De la Définition (c)alculatoire au (g)raphique de la Parabole – La fonction inverse et le tracé de son hyperbole standard, Asymptotes Vocabulaire : Bien distinguer : opposé – inverse – réciproque – contraire – symétrique – négation. Idée11 essentielle : Le produit a*b est un calcul de surface ((c'est-à-dire l'itération d'une somme)), et la recherche d'inverse permet de retrouver la hauteur x inconnue d'un rectangle de surface S = a*x déterminée avec une base de longueur « a » connue. On écrit : x=S/a. Inutile de chercher très loin la pseudo « interdiction fatale » de diviser par « 0 ». Elle est contenue dans cette idée simple... Définition11a : ON APPELLE « fonction inverse » la fonction définie sur tous les nombres réels, sauf « 0 », et qui associe à x son inverse « 1/x ». On note : f : IR* → IR ; x |→ (1/x) Notation : On note IR-* = ]-oo ; 0[, et IR+* = ]0 ; +oo[. Ainsi que leur réunion : IR* = IR-* ∪ IR+* Exemple11 : L'image par f de 0,4 est 1/0,4 = 1/(2/5) = 1*(5/2) = 2,5 ; L'antécédent par f de 1+rac(3) est le « x » tel que 1/x = 1+rac(3) Ce Qui Equivaut A : x = 1/(1+rac(3) = (1 – rac(3) ) / (1 – 3) = (rac(3) – 1 ) /2 Remarque11 : Les calculs doivent se comprendre aussi écrits en ligne ; une fraction doit toujours être présentée sans racine au dénominateur (c'est-à-dire « en bas ») Pour cela on dispose de la « xQc, les racin's remontées** » Graphique : Définition11b : On appelle « asymptotes » les droites qui « collent » au tracé de la fonction inverse : ce sont ici les axes du repère orthonormé. 150800-fn3-Cours12-FONCTIONS-HOMOGRAPHIQUES-2gt-AML http://SitSit33.e-monsite.com 08/06/15 ; p 1 / 13 12 De x vers « son » y : Les Variations de la Fonction Inverse Observation (g)raphique : Les deux branches de l'hyperbole standard représentent une fonction qui est décroissante sur chaque intervalle, sur IR-* et sur R+*. ((idée de promener son doigt sur la courbe vers la droite : le doigt descend !)) Preuve12 (c)alculatoire : SOIT** 0 < a < b deux réels strictement positifs. SOIT : d = 1/a – 1/b. ON A : d = 1/(ab) * [b – a] OR** : 0 < a < b, donc ab > 0 et b – a > 0, DONC d > 0. Finalement**, f est bien décroissante sur IR+*. La fonction inverse est donc décroissante sur IR+*. De même, on montre que f est décroissante sur IR-*. Remarque : Pourquoi ne peut on pas écrire que f est décroissante sur IR* ? Parce que IR* n'est pas un intervalle : il y a ce « trou » en « 0 ». Et si a<0<b sont deux nombres de signes opposés, on n'aura pas 1/a>1/b ! 13 De y vers les x, Equation : « QuandLinverseEgaleLeTripleMoinsDeux** » Exemple : Soit à résoudre l'équation : 1 x=3 x−2 _A) (G)RAPHIQUEMENT, POUR SE DONNER UNE IDÉE DE LA SITUATION : ((Les couleurs ordonnées imposées** sont là pour vous faire gagner du temps, ce qui est précieux...)) Méthode DPAS** donnée en classe, qui est à utiliser pour les résolutions (g)raphiques : on trace la Droite, on marque les Points, on abaisse les Abscisses, on trouve les Solutions. Pour rédiger, on cite les 4 noms en sens retour : SAPD, et on écrit : Les Solutions de l'équation : 1 x=3 x−2 sont les Abscisses des Points de l'hyperbole standard (Cf) qui sont situés sur la Droite (D) d'équation y = 3x – 2, soit Sg = { – 1/2 ; 1} environ ((la solution (g)raphique a le mérite d'être rapide, de bien rentabiliser le graphique qui a pu être tracé à la question précédente, et de rendre les idées générales apparentes et facilement mémorisables ! ((Diams** _B) PAR LE (C)ALCUL, POUR PRÉCISER ET RÉDIGER : Indication : Développer : (x – 1)(3x + 1) ; ON A : (x – 1)(3x + 1) = 3x² + x – 3x – 1 ((avec la chanson des cygnes** + + - - ok = 3x² – 2x – 1. On Suppose Que : 1 x=3 x−2 Ce Qui Equivaut A : (1/x) – (3x – 2) = 0 « « « (1−x)(3x+ 1) x =0 « « « : 1 – x = 0 ou 3x + 1 = 0 « « « : x = 1 ou x = – 1/3. Finalement : Sc = { – (1/3) ; 1} ((la solution (c)alculatoire a le mérite de bien se Rédiger et de Préciser effectivement la solution (g)raphique ((parfum** ! 150800-fn3-Cours12-FONCTIONS-HOMOGRAPHIQUES-2gt-AML http://SitSit33.e-monsite.com 08/06/15 ; p 2 / 13 2 LA FONCTION HOMOGRAPHIQUE en « affine sur affine » (p100 21 Définition en quotient de 2 affines (et la condition graphique) Définition : On appelle FONCTION HOMOGRAPHIQUE le quotient de deux fonctions affines telles que la courbe obtenue soit une hyperbole. Exemple : Soit f(x) = (3x – 2)/(1+4x) g(x) = (3x – 2)/(1+0*x) h(x) = (3x – 2) / (4 – 6x) Esquissez les courbes Cf, Cg, et Ch. Que remarque-t-on ? 22 Etude des contraintes (et les 2 conditions calculatoires) Démonstration : Soit f(x) = (m x + p) / (a x + b) 1_ Quelle contrainte pèse sur « x » pour calculer f(x) ? En déduire l'ensemble de définition de f. En passant, quelle constante parmi a, b, m, p n'est certainement pas nulle ? R Contrainte : ax+b est non nul, donc x ne vaut pas – b/a. Pour que ce calcul préliminaire ait un sens, « a »ne PEUT pas être nul... ((D'ailleurs, si a = 0, f(x) est clairement une affine, non ?)) 2_ Supposons que le tableau de nombres ((m, p), (a, b)) soit un tableau de proportion. Que vaut alors le produit en croix : m b – a p ? Puisque « a » est non nul, profitons en pour le prendre comme référence : soit « k » tel que b = k a. Comment peut on simplifier f(x) ? Qu'en déduire ? R f(x) = (m x + p) / (a x + b) = (m x + km) / (a x + ka) = (m/a) * (x+k)/(x+k) = (m/a) qui est constante, donc encore une affine ! Propriété : Soit la formule : f x=m xp a xb ALORS la fonction f est bien homographique sous les deux conditions suivantes : * a doit être non nul ; * les 4 coefficients ne sont pas proportionnels, donc mb – ap est non nul ; Cette fonction f est définie sur l'ensemble de définition : (Df) = IR\{ – b/a } = ] – oo ; – b/a [ ∪ ] – b/a ; + oo [ 3 la FORME REDUITE de l'homographique (p101) 31 Deux Homographiques Mystère... Exemple : Les formules : f(x) = (3x+4) / (2 – x) et g(x) = (3x – 8) / (2 – x) ne sont uploads/Litterature/ fn3-p14-cours12-fonctions-homographiques-2gt-aml.pdf