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. Quaternions et rotations Michel Llibre 11 février 2015 Table des matières 1 R

. Quaternions et rotations Michel Llibre 11 février 2015 Table des matières 1 Retour sur les complexes 2 1.1 Un tout petit peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Diverses représentations des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Représentations par un point du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Représentation par une matrice 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Parallèle entre les représentations par complexes et par quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Diverses représentations des rotations 4 2.1 Représentation classique par 3 angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 La représentation par les paramètres d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Représentations par vecteurs de l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.1 Le vecteur rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.2 Autres vecteurs de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Représentation par matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5 Représentation par quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 L’algèbre des quaternions 7 3.1 Produit de 2 quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Quaternion unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Quaternion conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 Norme d’un quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.5 Quaternion unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.6 Quaternion inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.7 Propriétés diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Diverses réalisations des quaternions 9 4.1 Matrices complexes 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Matrices réelles 4×4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5 Composantes et changements de base 10 5.1 Changement de base d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 Changement de base d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3 Rotation d’un vecteur - Composition de rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.4 Formulaire résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.5 Quaternions et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.5.1 Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.5.2 Composition de deux symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.5.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.5.4 Produit de deux rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.5.5 Changement de base des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.5.6 Produit de changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.5.7 Matrice de rotation associée à un quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ quaternions-et-rotations.pdf