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88 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES 1997 Épreuve de Mathématiques 1/5 Sujet commun :

88 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES 1997 Épreuve de Mathématiques 1/5 Sujet commun : ENS Ulm, Cachan et Fontenay-Saint-Cloud D m : 4 heures 1 er Problème Les parties 1), II), III), IV), V) l), 2) peuvent se traiter de manière indépen- dante. 1) Soit X > O et 9, : IR I - + W définie par g,(t) = Xet. Soit G, la primitive de 9, définie sur W et telle que G,(O) = O. 1) Quel est l’ensemble des valeurs prises par 9,: (9, (t) ; t E IR}? 2) Pour a fixé, étudier les fonctions t M ut - G,(t), définies sur R 3) Soit a E ]O, oo[. a) Calculer H,(a) = max(ut - G,(t)) Montrer que le maximum est atteint pour un t > O si et seulement si a > A. b) Calculer H,(X) et étudier le comportement de &(a) lorsque a + O+. 4) Montrer que pour tout t E IR tEB G,(t) = max (ta - H,(a)) 4 0 , 4 II) E désigne l’ensemble des fonctions G : W ; I - + I R , deux fois dérivables sur E+, et telles que la dérivée première g = G’ vérifie: lim g(z) = O, lim g(z) = +oo, g strictement croissante sur r+. %+O+ Z++W 1) Montrer que pour Q > O, E E t , QG + p E E si G E E 2 ) Pour G E E, on définit la fonction H sur E + par H(a) = max(ut - G(t)) t a ; a) Après avoir justifié l’existence de g-l, application réciproque de g sur b) Montrer que H E E. E + , exprimer H à l’aide de G et de 9-’. On désigne par A l’application de E dans E définie par H = A(G1. 3) Pour Q > O, , O E R et G E E, soit H = A(QG + p). Exprimer H(a) pour a > O en fonction de Q, 4) Pour p > 1, on pose GP(t) = -. Montrer que Gp E E et que A(Gp) = G,, avec - + - = 1. Calculer A(A(Gp)). 5 ) Calculer A(A(G)) pour G E E. 6 ) A est-elle injective? surjective? et de la fonction H = A(G). t p P 1 1 P Q ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES 1997 89 Épreuve de Mathématiques 2/5 III) On considère dans cette question la fonction Go(t) = log- de dérivée go, définie sur R 1) Montrer que G o n'est pas un élément de E. 2 ) Soit la[ < 1. Montrer que &(a) = max(at - Go(t)) t a est bien défini et que la fonction a ++ Ho(a) est dérivable sur 1-1,1[. 3) Montrer que HO se prolonge par continuité sur [-1, 1 1 . Quelles sont 'alors les valeurs de Ho(-l) et de Ho(l)? IV) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre A > O, soit pour k E N, Ak P(X = k) = e-'- k! +Ca 1) Montrer que la série c P ( X = k)esk est convergente pour tout s E R Calculer sa somme 4(s). Montrer que pour tout s E R k=O ~ [ e " * ] = 4(s) 2 ) En utilisant la relation calculer la loi de X I + X2 avec X I , X2 variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson de paramètres respectifs Al, A2. Soit n E W et XI, ..., Xn n variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson de paramètre A. Calculer la loi de Sn = X1 + X2 + .... + Xn. 3) Déduire de 1) et 2) que pour tout s E R ~ [ e ~ ' n ] = 4*(s) V) Soit f : R I - + R une fonction croissante et soit X une variable aléatoire 8. valeurs dans N telle que la série de terme général un = f(n)P(X = n) soit convergente. 1) Montrer que la série de terme général I f ( . ) \ P ( X = n) est aussi conver- gente. Montrer que E [ f ( X ) ] est bien définie. 2) Montrer que si de plus f est positive, alors pour tout A 4 > O, on a E [ f ( X ) I L f(WP(X > M ) 3) En déduire que pour s > O et a > O, S,, étant la variable aléatoire introduite au IV) 2 ) ) on a -nas P(Sn > na) 5 #"(s)e 90 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES 1997 Épreuve de Mathématiques 3/5 4) En déduire que pour a > A, on a où H, est la fonction définie dans la partie 1 . 5 ) Par analogie avec 2), montrer que si f est décroissante sur B et positive, alors pour tout M > O, on a J?? [f (XII L f(M)P(X < w 6) Montrer que pour E > O, on a 7 ) En déduire la loi faible des grands nombres pour un échantillon de la loi de Poisson. 2ème Problème Les parties 1 ) , II), III) peuvent se traiter de manière indépendante. Soit M3(B) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3, à coefficients réels. On note 1 la matrice identité de Ms(R). 1) Soit A A = ( ; -11 6 ;) où A est un paramètre réel. 1) Pour quelles valeurs de A la matrice A, est-elle inversible? 2) Soit V le vecteur dans E t 3 muni de sa base canonique. a) Etudier, suivant les valeurs de A, la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs {V, AxV, A:V}, puis celle du sous-espace engendré par {V, AxV, ...., AtV} pour k >, 2. b) Même questions lorsque V est le vecteur II) Soit A E M3(R) et V un vecteur non nul de R3 donné par ses co- ordonnées dans la base canonique. On note C l’élément de M3(R) dont les vecteurs colonnes sont (V, AV, A2V). 1) Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs {V, AV, ...., AkV} pour k 2 2 lorsque : ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES 1997 Épreuve de Mat hématiques 4/ 5 91 b) C est inversible. c) C n’est pas inversible. 2) La propriété “A est inversible” versible” ? 3) La propriété “C est inversible” versible” ? III) Dans toute cette partie, V est une matrice fixée de MS(R). 1) Soit a) V est un vecteur propre de A. l implique t-elle la propriété “C est in- implique t-elle la propriété “A est in- est un vecteur fixé non nul de IR3 et A U = (Ei) un vecteur de Et3 et X , Y, 2 les vecteurs de Et3 définis par X = A Y + u l V , Y = A Z + u 2 V , Z=u3V. Calculer X en fonction de U et de V. On pose X = e ( U ) . Montrer que l’application 8 de R3 dans R3 est un automorphisme si et seule- ment si la matrice C est inversible. 2) Dans la suite, on choisit le vecteur V tel que la matrice C soit inversible. a) Calculer 6 = C-’V et fi = C-lAV. b) Montrer que Al = C-lAC s’écrit pour des nombres réels a, p, y convenables que l’on ne calculera pas. c) Montrer que les matrices ( A - SI) et (Al - SI) sont semblables pour tout s E R En déduire que A et Al ont les mêmes valeurs propres. d) On suppose dans cette question que A admet -1, 1,2 pour valeurs propres et on pose encore Al = C ’ A c . Montrer que l’équation s3-ys2-@s-a = O admet -1,1,2 comme racines. (On pourra écrire que pour s E {-1, 1,2}, le système d’équations linéaires A1W = sW, d’inconnue W E IR3, admet une solution W f IR3, W # O . ) En déduire que Q, @, y, et donc Al, ne dépendent pas du vecteiir Tf 92 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES 1997 Épreuve de Mathématiques 5 / 5 3ème Problème 1) Soient X , Y , 2 trois variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans {-1, +l). Montrer la propriété suivante: pour tout triplet (a, b, c) E {-1, +I}~, P ( X = a et 2 = clY = b) = P(X = alY = b)P(Z = c(Y = b). (1) 2) Comment construire la loi d’un triplet ( X , Y, 2) de variables aléatoires à valeurs dans {-1, + l } , non indépendantes, telle que la propriété (1) ci-dessus soit satisfaite avec P ( X = a et Y = b et 2 = c) > O pour tout triplet (a, b, c) E {-1, +1}3 ? On pourra par exemple choisir la même expression pour les lois condition- nelles de X sachant Y = b et de 2 sachant Y = b. uploads/Litterature/ ir-w-w-ii-iii-iv-x-ir.pdf