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1 Rapport sur le dossier d’habilitation a` diriger des recherches pr´esent´e pa

1 Rapport sur le dossier d’habilitation a` diriger des recherches pr´esent´e par Monsieur Abdallah BRADJI. Robert Eymard professeur de math´ematiques universit´e Paris-Est Marne-la-Vall ´ee 4 janvier 2016 Le dossier d’habilitation pr´esent´e par A. Bradji rassemble d’une part des ´el´ements de synth`ese de sa carri`ere et d’autre part ses principales publications. Il est aujourd’hui professeur de math´ematiques `a l’universit´e d’Annaba, en ayant gravi les ´echelons acad´emiques de l’enseignement sup´erieur en Alg´erie. Il a soutenu sa th`ese en 2005 `a l’universit´e d’Aix-Marseille 1, sous la direction de T. Gallou¨et, et il a soutenu l’habilitation universitaire alg´erienne en 2009. Ceci lui a permis une activit´e d’enseignement et d’encadrement de recherche au niveau master 2 (il a cr´e´e des cours dans sa sp´ecialit´e d’analyse num´erique, et il a rapport´e sur plusieurs th`eses). Il est auteur ou coauteur de 16 publications dans des journaux `a comit´e de lecture (en incluant 2 Compte-Rendus `a l’Acad´emie des Sciences). Trois publications sont soumises. Son activit´e de publications dans des congr`es est soutenue, et il a ´et´e invit´e `a plusieurs conf´erences et s´eminaires. Je vais maintenant d´etailler les apports scientifiques r´esultant de ses travaux de recherche, en suivant l’ordre des chapitres de son m´emoire d’habilitation. Ces chapitres sont issus de diff´erents articles publi´es par l’auteur, seul ou en collaboration. Dans le chapitre 3, A. Bradji pr´esente l’analyse d’un sch´ema volumes finis du second ordre en une dimension d’espace, appliqu´e `a l’´equation de la chaleur transitoire. Ce sch ´ema est bas´e sur l’introduction de plusieurs sch´emas volumes finis coupl´es approchant diff´erentes d´eriv´ees de la fonction inconnue. Il explore ainsi des m´ethodes permettant d’augmenter l’ordre du sch´ema de volumes finis. Des r´esultats num´eriques viennent confirmer la pertinence de l’approche. Le chapitre 4 s’int´eresse `a la discr´etisation de l’´equation des ondes par un sch´ema volumes finis. Il s’appuie, comme au chapitre 3, sur l’approximation de diff´erentes d´eriv´ees de la solution. L’auteur ´etablit l’ordre deux par des estimations th´eoriques, confirm´ees ensuite par des tests num´eriques effectu´es en comparaison de sch´emas standard. Dans le chapitre 5, l’auteur effectue l’analyse th´eorique du sch´ema SUSHI pour l’approximation de l’´equation de Schr¨odinger sur des maillages g´en´eraux. La convergence et une estimation d’erreur sont obtenues, selon la r´egularit´e du potentiel, r ´ealisant l`a une extension int´eressante de ce sch´ema. L`a encore, des tests num´eriques 2 viennent confirmer les r´esultats th´eoriques. Le chapitre 6 porte sur l’application du sch´ema SUSHI `a l’´equation des ondes sur des maillages g´en´eraux en dimension quelconque. La convergence de la m´ethode est poursuivie par une ´etude 3 utile sur l’amortissement num´erique des m´ethodes de discr´etisation, selon le sch´ema en temps choisi. Dans le chapitre 7, les r´esultats du chapitre 6 sont am´elior´es par l’emploi de techniques permet- tant l’´el´evation de l’ordre de convergence, Le chapitre 8 porte sur des estimations d’erreur du sch´ema SUSHI pour des ´equations parabo- liques lin´eaires, le chapitre 9 porte sur une nouvelle estimation d’erreur dans W 1,∞(0, T, L2(Ω)) dans le cadre des sch´emas d’´el´ements finis. Des r´esultats similaires sont ensuite ´etendus `a l’´equation des ondes dans le chapitre 10. Le chapitre 11 porte sur la discr´etisation d’un probl`eme coupl´e entre l’´equation de la chaleur et la circulation de courant, par des m´ethodes d’´el´ements et de volumes finis. La convergence de la m´ethode est prouv´ee. Le chapitre 12 du m´emoire est consacr´e `a la reproduction d’un article de l’auteur en collabo- ration portant sur l’erreur num´erique issue de l’utilisation du logiciel COMSOL dans diff´erents contextes. Ce m´emoire rassemble donc des contributions significatives `a l’analyse num´erique. L’auteur a tent´e de les synth´etiser dans le chapitre 2, mais cette synth`ese est trop proche d’un r´esum´e comme celui donn´e en tˆete de la partie II. J’aurais pr´ef´er´e que l’auteur fasse, `a l’occasion de l’´ecriture de ce m´emoire, une mise en commun des notions utilis´ees plusieurs fois, comme par exemple la pr´esentation du sch´ema SUSHI (celui-ci est expliqu´e avec les mˆemes dessins et les mˆemes ´equations dans plusieurs chapitres), de la mˆeme fa¸con que l’auteur a proc´ed´e `a la mise en commun de la bibliographie. Cela aurait peut-ˆetre permis de mieux acc´eder au contenu math´ematique pr´ecis des notions nouvelles introduites par l’auteur. Malgr´e cette critique, ma conclusion est qu’A. Bradji a clairement montr´e ses qualit´es scien- tifiques, tant par son parcours universitaire que ses travaux de recherche. La diversit ´e de ces travaux et des conditions dans lesquelles ils ont ´et´e men´es montrent le dynamisme et la continuit´e d’A. Bradji dans des collaborations avec des chercheurs issus de diff´erents pays. Je recommande donc la soutenance de l’habilitation `a diriger des recherches. uploads/Litterature/ report-eymard 2 .pdf