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Représentation des groupes ﬁnis préparation à l’agrégation Alexis Tchoudjem Uni

Représentation des groupes ﬁnis préparation à l’agrégation Alexis Tchoudjem Université Lyon I 10 février 2016 1 Références 1. Vinberg, Algebra ; 2. J. -P. Serre, Représentations linéaires des groupes ﬁnis ; 3. Guy Henniart, Représentations linéaires des groupes ﬁnis, disponible ici : www.math.polytechnique.fr/xups/xups09-01.pdf ; 4. Alperin, Groups and representations ; 5. Isaacs, Character theory of ﬁnite groups ; 6. Fulton & Harris Representation theory. Table des matières 1 Références 2 2 Sous-espaces invariants 2 3 Complète réductibilité des représentations linéaires des groupes ﬁnis 6 4 Caractères des représentations de groupes ﬁnis 7 5 L’espace hermitien des fonctions centrales 7 6 Table des caractères de A5 11 7 Théorème de Burnside 12 8 Représentations induites 13 2 Sous-espaces invariants Soit k un corps. Déﬁnition 1 Une représentation k−linéaire d’un groupe G est un morphisme de groupes : G →GL(V ) . Si R : G →GL(V ) et S : G →GL(U) sont des représentations d’un groupe G, un morphisme de R vers S est une application k−linéaire φ : V → 2 U telle que le diagramme : V φ R(g) / V φ U R(g) / U commute pour tout g ∈g. Si φ est un isomorphisme, on dit que R ≃S. Les sous-espaces invariants jouent un rôle important dans la structure des représentations linéaires. De quoi s’agit-il ? Déﬁnition 2 Soit R : G →GL(V ) une représentation linéaire d’un groupe G. On dit qu’un sous-espace U ≤V est invariant s’il l’est vis à vis de tous les endomorphismes R(g), g ∈G. Si U ≤V est un sous-espace invariant d’une représentation R : G → GL(V ), alors la sous-représentation RU : G →GL(U), g 7→R(g)|U et la re- présentation quotient RV/U : G →GL(V/U), g 7→(v mod U 7→R(g)v mod U) sont aussi des représentations linéaires de G. Déﬁnition 3 Une représentation R : G →GL(V ) est irréductible si V ̸= 0 et s’il n’existe pas de sous-espace invariant 0 ̸= U < ̸= V . Exercice 1 a) Les représentations de dimension 1 sont irréductibles. b) La représentation R : R →GL2(R), t 7→    cos t −sin t sin t cos t   est irréduc- tible. c) La représentation R : R →GL2(C), t 7→    cos t −sin t sin t cos t   n’est pas irréductible. d) L’isomorphisme S4 ≃SO3(Z) déﬁnit une représentation irréductible réelle de S4 de dimension 3 (l’isomorphisme s’obtient en faisant agir SO3(Z) sur ses quatre 3−Sylow ou sur les quatre droites ±        ±1 ±1 1        ). Cette dernière représentation est aussi irréductible sur C ! grâce à la propo- sition suivante : 3 Proposition 2.1 Soit G →GLn(R) une représentation irréductible de di- mension n impaire. Alors R : G →GLn(C) la « complexiﬁcation » de R est aussi irréductible. Démonstration : Indication : soit 0 ̸= W < Cn un sous-espace invariant. Alors W ∩W est un sous-R−espace invariant de Rn donc c’est 0. De même W + W ∩Rn est un sous-espace invariant de Rn donc W + W = Cn. D’où n = dim W + dim W = 2 dim W absurde ! q.e.d. Exercice 2 Soit V un k−espace vectoriel de base e1, ..., en. La représentation de Sn déﬁnie par R(s)ei := es(i), s ∈Sn, est la représentation monomiale. a) La représentation monomiale n’est pas irréductible car elle a au moins deux sous-représentations non triviales : l’une de dimension 1 : k(e1 + .... + en) l’autre de dimension n −1 : V0 := {Pn i=1 xiei : Pn i=1 xi = 0}. b) La sous-représentation V0 est irréductible en caractéristique nulle. Remarque importante : si ϕ : V →U est un morphisme de représen- tations, alors ker ϕ est une sous-représentation de V et Imϕ est une sous- représentation de U. Voici une conséquence : Théorème 2.2 Tout morphisme entre deux représentations irréductibles est soit nul soit un isomorphisme. Dorénavant nous ne considérerons que les représentations de dimension ﬁnie. Théorème 2.3 (Lemme de Schur) Sur un corps algébriquement clos, tout endomorphisme d’une représentation irréductible est soit nul soit un multiple de l’identité. Corollaire 2.3.1 Toute représentation irréductible d’un groupe abélien sur un corps algébriquement clos est de dimension 1. Démonstration : (exo) q.e.d. Déﬁnition 4 Une représentation linéaire R : G →GL(V ) est complètement réductible si tout sous-espace invariant U ≤V admet un supplémentaire invariant. 4 Exercice 3 a) La représentation R →GL2(C), t 7→    et 0 0 e−t   est com- plètement réductible. b) La représentation S →GL2(C), t 7→    1 t 0 1   est réductible mais non complètement. Théorème 2.4 Chaque sous-représentation et chaque quotient d’une repré- sentation complètement réductible restent complètement réductibles. Démonstration : (exo) q.e.d. Théorème 2.5 Soit R : G →GL(V ) une représentation linéaire. Si R est une représentation complètement réductible, alors V se dé- compose en somme directe de sous-espaces invariants minimaux †. (i) (ii) Réciproquement, si V est une somme P i Vi (non nécessairement di- recte) de sous-espaces invariants minimaux, alors R est une représen- tation complètement réductible. De plus, si U ≤V est un sous-espace invariant, alors on peut choisir comme supplémentaire invariant une somme de certains Vi. Démonstration : (i) : (exo) (ii) Si V = Pn i=1 Vi. Si U ≤V est invariant. On choisit I ≤{1, ..., n} un sous-ensemble de cardinal maximal tel que P i∈I Vi ∩U = 0. Alors U ⊕ (P i∈I Vi) = V . q.e.d. Exercice 4 a) En caractéristique nulle, la représentation monomiale est complètement réductible. b) En caractéristique nulle, la représentation Ad : GLn(k) →GL(Mn(K)), A 7→(X 7→AXA−1) est complètement réductible (indication : vériﬁer que ⟨In⟩et {X ∈Mn(K) : trM = 0} sont des sous-espaces invariants minimaux). Corollaire 2.5.1 Une représentation est complètement réductible si et seule- ment si elle est isomorphe à une somme directe de représentations irréduc- tibles. †. i.e. minimaux parmi les sous-espaces invariants non nuls 5 Corollaire 2.5.2 Soit R : G →GL(V ) une représentation complètement réductible isomorphe à une somme directe de représentations irréductibles ⊕n i=1Ri. Alors toute sous-représentation et toute représentation quotient de R est isomorphe à une somme directe ⊕i∈IRi pour une partie I ⊆{1, ..., n}. Théorème 2.6 (de Burnside) Soit R : G →GL(V ) une représentation irréductible sur un corps algébriquement clos k. Alors la sous-algèbre de Endk(V ) engendré par les R(g), g ∈G, coïncide avec Endk(V ). Démonstration : cf. Les Maths en tête, algèbre , X. Gourdon, problème IV . 7 q.e.d. Exercice 5 Montrer que si R : G →GL(V ) est une représentation irréduc- tible sur un corps de algébriquement clos, alors : a) toute forme bilinéaire non nulle invariante sur V est non dégénérée ; b) deux telles formes sont proportionnelles ; c) si une telle forme existe, alors elle est symétrique ou antisymétrique. 3 Complète réductibilité des représentations li- néaires des groupes ﬁnis Théorème 3.1 (théorème de Maschke) Soit R : G →GL(V ) une repré- sentation k−linéaire d’un groupe ﬁni G d’ordre premier à la caractéristique de k. Alors tout sous-espace invariant U ≤V a un supplémentaire G−invariant. Démonstration : Soit p : V →U une projection linéaire surjective (ça existe toujours !). On pose π := 1 |G| P g∈G R(g) ◦p ◦R(g)−1. C’est un endo- morphisme de V , on a π ◦R(g) = R(g) ◦π pour tout g ∈G. Donc ker π et π sont des sous-espaces G−invariants. De plus π2 = π (exo) Donc π est une projection et Imπ ⊕ker π = V avec Imπ = U. q.e.d. Exercice 6 Démontrer que la représentation C−linéaire de S4 induite par l’isomorphisme S4 ≃SO3(Z) est irréductible (indication : il suﬃt de vériﬁer qu’il n’y a pas de droite invariante !) Exercice 7 Si p est un nombre premier, alors la sous-représentation {Pp i=1 xiei : Pp i=1 xi = 0} de la représentation monomiale de Sp est indécomposable mais n’est pas irréductible. On s’intéresse dorénavant aux représentations sur C. 6 4 Caractères des représentations de groupes ﬁ- nis Déﬁnition 5 Soit R : G →GL(V ) une représentation, son caractère χR est la fonction G →C, g 7→trace(R(g)). Remarques : i) La terminologie est traditionnelle mais peut prêter à confusion si le groupe G est abélien ! ii) Deux représentations isomorphes ont le même caractère (et réciproque- ment ? patience ...). iii) La fonction χR est clairement constante sur les classes de conjugaison. iv) Si G est ﬁni, alors pour tout g ∈G, χR(g−1) = χR(g) (exo) v) Si R est la somme directe de deux sous-représentations R1 et R2, alors χR = χR1 + χR2. Exercice 8 χR(1) est la dimension de la représentation R. 5 L’espace hermitien des fonctions centrales Soit G un groupe ﬁni. On note FC(G) le C−espace vectoriel des « fonc- tions de classe » i.e. des fonctions G →C constantes uploads/Litterature/ representation-des-groupes-finis-preparation-a-l-x27-agregation-alexis-tchoudjem-universite-lyon-i-10-fevrier-2016.pdf