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http://laroche.lycee.free.fr 1 1. Corrections : suites 1.1 Je connais mon cours

http://laroche.lycee.free.fr 1 1. Corrections : suites 1.1 Je connais mon cours 1.2 1.2. Exercices de base 1.2.1. Somme des cubes On raisonne par récurrence : on vérifie que ( ) 2 2 3 1 1 1 1 4 + = puis on écrit l’égalité au rang 1 n+ : ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 1 2 1 2 ... 1 4 n n n n + + + + + + + = , or on sait que ( ) 2 2 3 3 3 1 1 2 ... 4 n n n + + + + = , soit en remplaçant on doit montrer que : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 2 1 4 4 n n n n n + + + + + = . Un développement des termes des deux côtés parès simplification par 1 n+ donne une égalité vraie. 1.2.2. Raisonnements par récurrence 1. Pour = 1 n la propriété est − ≥ ⇔ ≥ 1 1 1! 2 1 1 ce qui est vrai. Supposons que − ≥ 1 ! 2n n ; alors il faut montrer que ( ) + − + ≥ ⇔ + ≥ 1 1 ( 1)! 2 ! 1 2 n n n n n . Or par hypothèse − ≥ 1 ! 2n n donc en multipliant par +1 n qui est supérieur à 2, on a ( ) ( ) − − + ≥ + ≥ × = 1 1 ! 1 2 1 2 2 2 n n n n n n . 2. A partir de 3 n ≥ on a 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 9 2 ! 1 2 3 4 ... 1 2 3 ! ! 2 3 2 3 2 3 3 n n n n n n n n n n n n − − − − − ×   = × × × × × ≥× × ⇒ ≤ ⇒ ≤ = =   × ×   . Comme 2/3 est <1, la suite géométrique converge vers 0 et n u également. Raisonnements par récurrence sur des sommes 1. On peut faire la démonstration par récurrence mais on peut aussi remarquer que ( ) 1 1 1 1 1 k k k k = − + + d’où en remplaçant pour chaque valeur possible de k : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 2 2 3 ( 1) 1 2 2 3 1 1 1 n n n n n n n         + + + = − + − + + − + − = −         × × + − + +         http://laroche.lycee.free.fr 2 car tous les termes intermédiaires s’annulent. 2. Au rang n+1 : ( )( ) ( )( )( )( ) 1 1 1 2 3 4 1 2 4 n k n n n n k k k + = + + + + + + = ∑ , comme ( )( ) ( )( )( ) 1 1 2 3 1 2 4 n k n n n n k k k = + + + + + = ∑ , on remplace : ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 4 n n n n n n n n n n n + + + + + + + + + + + = , soit en simplifiant par ( )( )( ) 1 2 3 n n n + + + : ( ) 4 1 4 4 n n + + = , ce qui est vrai. 3. Reprendre la méthode précédente, on simplifiera un gros bloc à la fin. 1.2.4. Y’a d’la pression… 1. 1 0 0 0 1,25 0,9875 1013 0,9875 1000 100 P P P P = − = = × ≈ ; de même 2 2 1 0,9875 1013 0,9875 988 P P = = × ≈ . 2. a. 1 1,25 0,9875 100 n n n n P P P P + = − = . b. ( ) n P est géométrique de raison 0,9875 et de premier terme 1013. c. 0 1013 0,9875 n n n P P q = = × . 3. A l’altitude 3 200 on est à 32 n = , soit 32 32 1 013 0,9875 677 P = × ≈ . 4. A 42 n = on descend sous les 600, soit à 4200 m. 1.2.5. Récurrence sur une parabole 1. a. 1 1 1 15 2 8 8 64 u   = − =     , 2 2 15 15 15 113 2 64 64 64 u ×   = − =     . 2. 0 < a < 1. a. Pour 0 n = c’est vrai puisque 0 < a < 1. La fonction f est monotone croissante sur [0 ; 1], donc si 0 1 n u < < , alors ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 n n f f u f u + < < ⇔ < < . b. Soit on calcule 1 n n u u + − , soit 1 n n u u + puisque la suite est positive : 1 2 1 n n n u u u + = − > , donc n u est croissante. n u est croissante et majorée, elle converge. http://laroche.lycee.free.fr 3 3. a. 1 8 a = ; 1 n n v u = − , ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n v u u u u u u v + + = − = − − = − + = − = . On a donc 3 2 4 8 2 2 0 1 2 3 7 7 7 7 7 7 , , , , ..., 8 8 8 8 8 8 n n v v v v v           = = = = = =                     . b. Comme 7 1 8 < , n v tend vers 0 et n u tend vers 1 0 1 − = . 1. b. 1.2.6. Récurrence sur une hyperbole 1. ( ) ( ) ( ) 2 3 2 10 ' 0 4 4 x f x f x x x + = ⇒ = > + + , f est croissante ; ( ) 1 0 2 f = et ( ) 5 1 1 5 f = = donc ( ) f x appartient bien à I. 2. Par récurrence : 0 0 u I = ∈ et comme ( ) f x appartient bien à I lors que x appartient à I, si n u I ∈ alors ( ) 1 n n f u u I + = ∈ . 3. a. b. http://laroche.lycee.free.fr 4 ( ) n u semble croissante et converger vers 1. c. ( )( ) 2 1 1 2 3 2 2 4 4 4 n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u + − + + − − − = − = = + + + . Comme 0 1 n u < < , tous les termes sont positifs, la suite est croissante. d. ( ) n u est croissante et majorée par 1, donc elle est convergente. e. La fonction f est telle que ( ) ( ) lim lim n n n n f u f u →+∞ →+∞ = et 1 lim lim n n n n u u L + →+∞ →+∞ = = donc ( ) L f L = . On résout l’équation ( ) x f x = , ce qui donne 1 ou –2 (pas dans I) 4. a. 1 1 1 3 2 1 1 4 2 2 1 2 2 3 2 2 5 10 5 4 5 2 4 n n n n n n n n n n n n u u u u u v v u u u u u + + + + − − + − − = = = = = + + + + + + . b. 0 0 1 1 1 2 0 2 2 2 5 n n v v −   = = − ⇒ = −   uploads/Litterature/ 01-ts-suites-corriges 1 .pdf