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Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides

Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 1 E EX XE ER RC CI IC CE ES S D D’ ’A AP PP PL LI IC CA AT TI IO ON N E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °1 1: : 1 1 ENONCE On veut accélérer la circulation d’un fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé par l’angle α (schéma ci-dessus). 1) Calculer le rapport des rayons (R1/R2). 2) Calculer ( R1 - R2 ) en fonction de L et α. En déduire la longueur L. (R1 = 50 mm, α = 15°). 2 2 REPONSE 1) On applique l’équation de continuité : α 1 V 2 V l R2 R1 V1.S1 = V2.S2 ou encore 1 2 2 1 V V S S = or 2 S1 .R1 = π et 2 S2 .R2 = π d’où 2 1 2 2 1 = = V V R R 2) l R R tg 1 − 2 α = donc tgα R R l 1 − 2 = or 2 1 2 R R = donc tgα R l 2. = 1 A.N.: L = 93,3 mm. Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 2 E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °2 2: : 1 1 ENONCE On considère un réservoir remplie d’eau à une hauteur H= 3 m , muni d’un petit orifice à sa base de diamètre d= 10 mm. 1) En précisant les hypotèses prises en comptes, appliquer le théorème de Bernouilli pour calculer la vitesse V2 d’écoulement d’eau. 2) En déduire le débit volumique Qv en (l/s) en sortie de l’orifice. On suppose que g=9,81 m/s. 2 2 REPONSE 1) Vitesse d’écoulement V2 ? On applique le théorème de Bernoulli avec les hypothèses suivantes : V1≈0 car le niveau dans le réservoir varie lentement et P1=P2=Patm, 0 ) .( 2 1 2 1 2 2 1 2 2 = − + − + − Z Z g P P V V ρ On obtient : H g V . . 2 2 = A.N. s m V / 67 , 7 3 . 81 , 9 . 2 2 = = 2) Débit volumique Qv ? S V QV . 2 = or 2 2 2 3 2 10 . 87 , 7 4 ) 10 . 10 .( 4 . m d S − − = = = π π A.N. s L O QV / 6 , = H V2 eau Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 3 E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °3 3: : 1 1 ENONCE Un fluide parfait incompressible s’écoule d’un orifice circulaire situé sur le coté d’un réservoir avec un débit volumique qv=0,4 L/s. Le diamètre de l’orifice est d=10 mm. 1) Déterminer la vitesse d’écoulement au niveau de l’orifice. 2) Enoncer le théorème de Bernoulli. 3) A quelle distance de la surface libre se trouve l’orifice ? 2 2 REPONSE 1) Vitesse d’écoulement : 2 . . 4 d q S q V v v π = = A.N. s m V / 1 , 5 01 , 0 . 10 . 4 , 0 . 4 2 3 = = − π 2) Théorème de Bernoulli : ϖ ϖ 2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 . 2 P Z g V P Z g V + + = + + 3) On a Z1-Z2=h ; P1=P2=Patm ; V1=0 donc g V h . 2 2 2 = A.N. m h 32 , 1 81 , 9 . 2 1 , 5 2 = = E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °4 4: : 1 1 ENONCE On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de diamètre d = 10 mm permettant de faire évacuer l’eau. Z r 1 V r Z1 Z2 H 2 V r ∅D ∅d Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 4 Si on laisse passer un temps très petit dt, le niveau d’eau H du réservoir descend d’une quantité dH. On note dt dH V = 1 la vitesse de descente du niveau d’eau, et V2 la vitesse d’écoulement dans l’orifice. On donne l’accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s2. 1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire l’expression de V1 en fonction de V2, D et d. 2) Ecrire l’équation de Bernoulli. On suppose que le fluide est parfait et incompressible. 3) A partir des réponses aux questions 1) et 2) établir l’expression de la vitesse d’écoulement V2 en fonction de g, H, D et d. 4) Calculer la vitesse V2. On suppose que le diamètre d est négligeable devant D. C'est-à-dire 1 << D d . 5) En déduire le débit volumique qV. 2 2 REPONSE 1) Equation de continuité : 2 2 1 2 . 4 . . 4 . V d V D π π = donc la vitesse 2 2 1 .V D d V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = (1) 2) Equation de Bernoulli : ( ) 0 . 2 1 2 1 2 2 1 2 2 = − + − + − Z Z g P P V V ρ Or P1=P2= Patm donc : 0 . 2 2 1 2 2 = − − H g V V (2) 3) On substitue l’équation (1) dans (2) on obtient : H g V D d V . 2 . 2 2 4 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Donc la vitesse : 4 2 1 . . 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = D d H g V 4) Si 1 << ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ D d alors H g V . . 2 2 = A.N. s m V / 67 , 7 3 . 81 , 9 . 2 2 = = Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 5 5) 2 2 . 4 . V d qv π = A.N. s m qV / 10 . 6 67 , 7 . 4 01 , 0 . 3 4 2 − = = π E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °5 5: : 1 1 ENONCE Le réservoir cylindrique représenté ci-dessus, ouvert à l’air libre, a une section SA de diamètre DA = 2 m. Il est muni, à sa base, d’un orifice de vidage de section SB et de diamètre DB = 14 mm. Le réservoir est plein jusqu’à une hauteur H=(ZA – ZB)= 2,5 m de fioul, liquide considéré comme fluide parfait, de masse volumique ρ= 817 kg/m3. On donne - la pression atmosphérique Patm= 1 bar. - l’accélération de la pesanteur g=9,8 m/s2. On note α=(SB/SA) Partie 1 : L’orifice est fermé par un bouchon. 1) En appliquant la RFH, déterminer la pression PB au point B. 2) En déduire la valeur de la force de pression FB qui s’exerce sur le bouchon. Partie 2 : L’orifice est ouvert. On procède à la vidange du réservoir. Le fioul s’écoule du réservoir. Sa vitesse moyenne d’écoulement au point A est notée VA, et sa vitesse d’écoulement au niveau de l’orifice est notée VB. SA SB A B A V r B V r Z ZB ZA H Dynamique des fluides incompressibles parfaits Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 6 1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire VA en fonction de VB et α. 2) En appliquant le théorème de Bernoulli entre A et B, établir l’expression littérale de la vitesse VB en fonction de g, H et α. 3) Calculer la valeur de α. L’hypothèse de considérer un niveau H du fluide varie lentement est elle vraie ? Justifier votre réponse. 4) Calculer VB en considérant l’hypothèse que α<<1. 5) Déterminer le débit volumique QV du fluide qui s’écoule à travers l’orifice. (en litre par seconde) 6) Quelle serait la durée T du vidage si ce débit restait constant ? 2 2 REPONSE Partie 1 1) H g P P A B . . ρ + = A.N. pascal P B 5 5 10 . 2 , 1 5 , 2 . 8 , 9 . 817 10 = + = 2) 4 . . 2 B B B B B D P S P F π = = A.N. N FB 472 , 18 4 ) 10 . 14 .( . 10 . 2 , 1 2 3 5 = = − π uploads/Litterature/ serie01-corrige.pdf