Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Statistique Descriptive Chapi

Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Statistique Descriptive Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Enseignant : Hassane BELBIJOU Session universitaire : Automne-Hiver 2020 - 2021 1er Semestre Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire 1 Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation Le coe¢cient de corrélation linéaire L’ajustement linéaire Notion de régression Régression linéaire simple Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Introduction Jusqu’à présent, nous avons étudiés le comportement statistique d’une seule variable : note, taille, longueur des objets, ... . Il existe cependant toute une gamme de problèmes statistiques où l’on s’interesse à la relation entre plusieurs variables. Exemple : - Le revenu d’une famille a t-il une in‡ence sur les résultats scolaires des enfants ? ; - Le rendement des céréales dépend -il de la quantité d’engrais utilisée ? ; - La productivité d’une entreprise est - elle liée au salaire des ouvriers ou employés ? Dans ces questions, nous désirons savoir si le comportement d’une variable est in‡uencé par la valeur d’une autre variable. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Introduction Quatre notions peuvent caractériser la relation entre deux variables statistiques : 1 Nature de la relation : le diagramme de dispersion permet de caractériser la nature de la relation ; 2 Sens de la relation : la notion de covariance permet d’étudier le sens de la relation ; 3 Intensité de la relation : la notion de corrélation permet de mesurer l’intensité de la relation ; 4 Ajustement d’un modèle : la notion de régression permet d’ajuster un modèle mathématique en fonction de la nature de la relation. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire 1. : Diagramme de disperssion Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Diagramme de dispersion De…nition Pour étudier les relations ou corrélations entre deux variables statistiques, on peut les porter sur un graphe : Diagramme de disperssion. Le diagramme de dispersion d’une variable Y en fonction d’une autre variable X est formé des points (xi, yi), et donne une idée de la façon dont varie, en moyenne, la variable Y en fonction de la variable X. De façon analogue, on dé…nit le diagramme de régression de X en fonction de Y. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Exemple : Tracer le diagramme de dispersion pour les deux variables : Y = f(X) . Les notes de mathématique (X) et de statistique (Y) obtenues pour 12 étudiants. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 11 14 09 12 10 06 15 12 10 10 08 13 yi 10 15 11 11 09 08 14 13 11 12 10 12 Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Dans le graphe, il y aura autant de points qu’il y a d’individus dans l’échantillon. On peut (par la pensée ou réellement) tracer une droite qui passe au mieux par ces points (au milieu de ce nuage de points). - Si cette droite "monte", on dira qu’il y a corrélation positive ; - Si cette droite "descend", on dira qu’il y a corrélation négative ; - Si cette droite est horizontalle, ou si on ne peut pas décider, c’est qu’il y a absence de corrélation. La qualité de la corrélation entre deux variables peut se mesurer par la disperssion des points autour de la relation moyenne. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire 2. : La covariance Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Covariance entre deux variables statistiques De…nition La covariance de deux variables statistiques est la moyenne arithmétique des produits des di¤érences des observations par rapport à leur moyenne ; x1, x2, x3, . . . . . . xi, ......, xn y1, y2, y3, . . . . . . yi, ......, yn Cov(X, Y ) = 1 n n ∑ i=1 (xi x)(yi y) (1) = 1 n n ∑ i=1 xiyi xy (2) Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Exemple : Example Les notes de mathématique (X) et de statistique (Y) obtenues de 12 étudiants. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 11 14 09 12 10 06 15 12 10 10 08 13 yi 10 15 11 11 09 08 14 13 11 12 10 12 Calculer la covariance entre x et y. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire xi yi yi Y  xi X  xi X  yi Y  1 11 10 -1,33 0,17 -0,23 2 14 15 3,67 3,17 11,63 3 9 11 -0,33 -1,83 0,6 4 12 11 -0,33 1,17 -0,39 5 10 9 -2,33 -0,83 1,93 6 6 8 -3,33 -4,83 16,08 7 15 14 2,67 4,17 11,93 8 12 15 1,67 1,17 1,95 9 10 11 -0,33 -0,83 0,27 10 10 12 0,67 -0,83 -0,56 11 8 10 -1,33 -2,83 3,76 12 13 12 0,67 2,17 1,45 130 136 47,67 Nous avons : X = 10, 83 et Y = 11, 33 On trouve : Cov(X, Y ) = 1 n n ∑ i=1 (xi x)(yi y) = 47, 67 12 = 3, 97 Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Covariance entre deux variables statistiques 1 Propriétés de la covariance : - Symétrie : Cov(X, Y ) = Cov(Y , X) - Bilinéarité : * Cov(X + Y , Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y , Z) Cov(aX, Y ) = a.Cov(X, Y ) a 2 IR On en déduit : Var(aX + bY ) = Cov(aX + bY , aX + bY ) = a2.Var(X) + b2.Var(Y ) + 2a.b.Cov(X, Y ) 2 Interprétation : La relation entre deux variables statistiques est croissante ou décroissante, c’est à dire selon que les valeurs élevées d’une série correspondent aux valeurs élevées de l’autre ou l’inverse, selon que la covariance est positive ou négative. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire 3. : La corrélation Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Corrélation Quand il s’agit de mettre en évidence le lien qui peut exister entre deux variables quantitatives X et Y on utilise le coe¢cient de corrélation linéaire ρxy . Mais lorsqu’il s’agit de déterminer le degré de liaison entre une variable qualitative X et une autre quantitative Y , on choisit dans ce cas le rapport de corrélation ηY /X . Cette corrélation est détectée à l’aide d’un autre moyen le khi deux χ2 si les variables sont toutes les deux qualitatives. Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire 3.1 : Le coe¢cient de corrélation linéaire Université Mohammed V-Rabat - FSJES -Agdal Statistique Descriptive Enseignant : Hassane BELBIJOU Chapitre III : Corrélation et ajustement linéaire Diagramme de dispersion Covariance Corrélation L’ajustement linéaire Le coe¢cient de corrélation linéaire De…nition On appelle coe¢cient de corrélation linéaire entre deux variables statistiques X et Y, le rapport de leur covariance par le produit de leurs écarts-types : ρ ; ρ a pour objet de mesurer l’intensité de la liaison linéaire entre deux variables statistiques X et Y : ρ(X ,Y ) = Cov(X, Y ) σ(X ).σ(Y ) (3) ρ(X ,Y ) uploads/Litterature/ statistique-descriptive-chapitre-iii-s1-section-c-pr-hassane-belbijou-24-12-2020-pdf.pdf

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littérature linéaire corrélation diagramme covariance statistique
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