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Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICES DE P PR RO OB BA AB BI IL LI

Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICES DE P PR RO OB BA AB BI IL LI IT TÉ ÉS S E ET T S ST TA AT TI IS ST TI IQ QU UE ES S Serveur d'exercices 1/25 Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 1. Niveau : Université Auteur : (04.11.07) Mots-clés : loi binomiale Enoncé : Charles-Basile passe un test de statistique et probabilités. Le test est un questionnaire à choix multiple comportant 6 questions. Chaque question a trois réponses possibles, dont une est juste. Charles-Basile réussi le test s’il répond correctement à au moins 4 questions. 1. Si Charles-Basile répond au hasard, quelle est l’espérance du nombre de réponses correctes ? Quelle est sa variance ? Quelle est la probabilité que Charles-Basile réussisse le test ? 2. Etant un peu mieux préparé, Charles-Basile est capable d’éliminer une réponse incorrecte. Il choisit sa réponse au hasard parmi les deux possibilités restantes. Trouver l’espérance et la variance de nombre de réponses correctes dans ce cas. Quelle est la probabilité que Charles- Basile réussisse l’examen ? Solution : 1. Notons X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes. La probabilité de répondre correctement à une question donnée est de 1 3 et par suite celle de répondre faux de 2 3 . La probabilité que Charles-Basile réponde correctement à n questions est ( ) 0 6 n ≤ ≤ ( ) 6 6 1 2 3 3 n n n P X n C − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . On reconnaît ici la loi binomiale . Donc (6,1/3 Binomiale ) [ ] 1 6 2 3 E X = ⋅ = et [ ] 1 2 4 6 3 3 3 V X = ⋅ ⋅ = . La probabilité que Charles-Basile réussisse le test est ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 5 6 6 6 4 5 1 2 1 2 1 4 4 5 6 3 3 3 3 3 P X P X P X P X C C C ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≥ = = + = + = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 6 6 6 6 6 4 2 1 73 15 6 0.1 3 3 3 3 = ⋅ + ⋅+ = ≈ . 2. A présent la probabilité de répondre correctement à une question donnée est de 1/2 et ( ) 6 6 6 6 1 1 2 2 2 n n n n C P X n C − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . X suit la loi ( ) 6,1/ 2 Binomiale . L’espérance et la variance sont [ ] 1 6 3 2 E X = ⋅ = , [ ] 1 1 3 6 2 2 2 V X = ⋅ ⋅ = . Serveur d'exercices 2/25 Sciences.ch Probabilités et Statistiques La probabilité que Charles-Basile réussisse le test est ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 5 6 4 6 6 6 6 22 4 4 5 6 0.34 2 2 2 2 C C C P X P X P X P X ≥ = = + = + = = + + = ≈ . Serveur d'exercices 3/25 Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 2. Niveau : Université Auteur : (04.11.07) Mots-clés : loi de Poisson, formule de Bayes Enoncé : Le nombre de rhumes attrapés par un individu en l’espace d’un an est une variable aléatoire de Poisson de paramètre 5 λ = . Un remède-miracle (basé sur l’effet de la vitamine C à haute dose) a été lancé sur le marché. Il abaisse le paramètre λ à 3 pour 75% de la population. Pour les 25 derniers pourcent de la population le remède n’a pas d’effet appréciable. 1. Si 200 individus essaient le remède, quel est le nombre moyen de rhumes qu’ils attrapent durant une année ? 2. Sachant qu’un individu essaie ce médicament pendant un an et attrape deux rhumes, quelle est la probabilité que le remède ait eu un effet sur lui ? Solution : 1. . 0.75 200 3 0.25 200 5 700 ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅= 2. Notons A = « le médicament a eu un effet sur l’individu » et soit X la variable aléatoire égale au nombres de rhumes attrapés en un an par un individu ayant pris le médicament. Il s’agit de calculer . Par la formule de Bayes on a : ( | P A X = ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 | | 2 2 | 2 | P X A P A P A X P X A P A P X A P A = ⋅ = = = ⋅ + = ⋅ . Par l’énoncé on sait que , ( ) 0.75 P A = ( ) 2 3 3 2 | 2! P X A e− = = , ( ) 2 5 5 2 | 2! P X A e− = = . Ainsi, ( ) 2 3 2 2 3 5 3 0.75 2! | 2 0.89 3 5 0.75 0.25 2! 2! e P A X e e − − − ⋅ = = ≈ ⋅ + ⋅ . Serveur d'exercices 4/25 Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 3. Niveau : Université Auteur : (04.11.07) Mots-clés : loi Binomiale, loi de Poisson, formule de Bayes Enoncé : Lors du tour de France (TDF) 1999 qui comporte 25 étapes, on sait que 7 fois sur 10, l’étape (n’importe laquelle) est remportée par un cycliste dopé. 1. Calculer la probabilité que sur les quatre premières étapes du TDF, au moins 3 soient remportées par des cyclistes non dopés. 2. Sur l’ensemble du TDF, combien d’étapes peuvent espérer gagner les cyclistes non dopés ? 3. A la fin de chaque étape, le vainqueur est soumis à un contrôle anti-dopage. Si le contrôle révèle que le cycliste est dopé, ce dernier est disqualifié. Malheureusement, ce contrôle n’est pas fiable à 100%. En effet, la probabilité qu’on disqualifie un cycliste réellement dopé est de 0.6. En revanche la probabilité de disqualifier un cycliste non dopé est de 0.05. (a) Calculer la probabilité qu’un cycliste dopé gagne une des étapes du TDF et qu’il ne soit pas disqualifié. (b) Lors de la 4ème étape, le vainqueur a été disqualifié, calculer la probabilité qu’il soit réellement dopé. 4. En moyenne 2 coureurs chutent chaque jour. Quelle est la probabilité que 5 cyclistes chutent en trois jours. Solution : 1. Le nombre d’étapes remportées par des cyclistes non dopés lors des quatre premières étapes est une v.a X suivant la loi ( ) 4,3/10 Binomiale . On a donc, . ( ) ( ) ( ) 4 3 4 4 3 4 3 3 4 0.3 0.7 0.3 0.084 P X P X P X C C ≥ = = + = = ⋅ ⋅ + ⋅ ≈ 2. Si X est la v.a représentant le nombre d’étapes gagnées par des cyclistes non dopés, nous savons que X suit la loi . Les cyclistes non dopés peuvent espérer gagner (25,3/10 Binomiale ) [ ] 3 25 7.5 10 E X = ⋅ = étapes. Serveur d'exercices 5/25 Sciences.ch Probabilités et Statistiques 3(a). La probabilité qu’une étape donnée soit gagnée par un cycliste dopé et que ce cycliste ne soit pas disqualifié est . ( ) 0.7 1 0.6 0.28 ⋅ − = 3(b). Notons A = « le vainqueur de la 4ème étape a été disqualifié » et B = « à la 4ème étape le vainqueur était dopé ». On veut calculer ( ) | P B A . On a , ( ) | 0.6 P A B = ( ) | 0.05 P A B = . Nous pouvons utiliser la formule de Bayes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 0.6 0.7 | 0 0.6 0.7 0.05 0.3 | | P A B P B P B A P A B P B P A B P B ⋅ ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ .97 ≈ 4. En trois jours, la moyenne de coureurs qui chutent est de 6. Le nombre de cyclistes qui chutent en trois jours est une v.a X suivant une loi de Poisson de paramètre 6 λ = . Par suite, ( ) 5 6 6 5 0 5! P X e− = = ⋅ ≈.16. Serveur d'exercices 6/25 Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 4. Niveau : Université Auteur : (04.11.07) Mots-clés : loi Binomiale, loi de Poisson Enoncé : Remarque : les parties A et B sont indépendantes A. uploads/Litterature/ exercices-de-probabilites-i.pdf