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1 Beaujolais BOFOYA KOMBA, Ph.D. Professeur d’Universités Statistique pour écon

1 Beaujolais BOFOYA KOMBA, Ph.D. Professeur d’Universités Statistique pour économiste Cours et exercices résolus 2ème Edition revue et corrigée Kinshasa/RDC-Mai 2010 2 3 Avertissement Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit la photocopie à usage collectif des œuvres scientifiques sans autorisation des ayants droit. Or, cette pratique s’est généralisée dans les établissements d’enseignement supérieur, provoquant une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles est de le faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, du présent ouvrage est interdite sans autorisation de l’auteur. vertissement 4 5 Préface Ce cours s’adresse essentiellement aux futurs économistes, et plus particulièrement aux économètres, c’est-à-dire aux étudiants en Sciences Economiques qui veulent pouvoir utiliser les instruments mathématiques et statistiques dans leurs études économiques. Le lecteur n’a guère besoin d’avoir au départ que des connaissances mathématiques très limitées. Néanmoins, une certaine maîtrise des principes de base de l’Economie Politique est indispensable. Il n’y a sans doute aucun moyen de prouver à priori que les méthodes statistiques et économétriques sont fructueuses, mais cela est vrai pour toutes les méthodes scientifiques. Tout ce qui est demandé au lecteur ou à l’étudiant, est de garder son esprit ouvert à la possibilité d’utiliser ces méthodes. Seul un usage sérieux des méthodes statistiques dans le domaine de l’économie peut nous donner une justification pragmatique de l’économétrie. Le but de ce cours est d’initier l’économiste à l’analyse statistique en suivant une approche pédagogique adaptée à la réceptivité de l’étudiant en Sciences Economiques. De nombreux exemples et exercices illustrent les développements théoriques aux travers de différentes sections. Les solutions aux exercices étant indiquées à la fin de chaque section, l’étudiant pourrait ainsi parvenir à une bonne assimilation des concepts et techniques à retenir et un contrôle individuel des connaissances. Il est à peine besoin de souligner ici qu’un ouvrage de ce genre ne pourrait guère être le fait d’une seule personne. Nous sommes redevables à bien d’autres personnes à commencer par de nombreux devanciers dont les ouvrages repris parmi les références bibliographiques nous ont servi. Au moment où nous livrons cet ouvrage au publique, nous avons le plaisir d’adresser nos remerciements aux étudiants de 2ème graduat en Sciences Economiques de l’Université de Kinshasa qui avaient suivi durant l’année académique 1989-1990 nos leçons de Statistique II. Leurs interrogations, commentaires et suggestions ont été pour beaucoup dans l’amélioration de la qualité de nos leçons qui, pour l’essentiel, constituent l’ossature du présent ouvrage. Nous voudrions ainsi exprimer notre gratitude au Professeur KINTAMBU MAFUKU, en tant que notre Promoteur de Thèse. Cet ouvrage constitue un modeste témoignage de l’encadrement dont nous y avons bénéficié. Prof. Dr Beaujolais BOFOYA KOMBA réface 6 7 Chapitre I. Introduction aux calculs des probabilités 1.1. Le concept de probabilité Le concept de probabilité s’est dégagé { partir d’exemples simples empruntés généralement aux jeux de hasard. La statistique antérieure aux calculs des probabilités traitait principalement des ensembles d’objets, de l’organisation et de la présentation des données en tableaux et graphiques. Avec l’apparition, du calcul des probabilités, il a été vite réalisé que la statistique pouvait être utilisée à tirer des conséquences valides et prendre des décisions raisonnables telles que dans le cas de la théorie de l’échantillonnage et dans celui de la prévision sur la base de l’analyse des données. Dans tout jeu du hasard, l’élément essentiel est le caractère aléatoire. Il y a toujours une incertitude en ce qui concerne la réalisation ou non d’un événement particulier. Il est donc commode d’affecter un nombre compris entre 0 et 1 à la chance ou à la probabilité avec laquelle nous espérons voir cet événement se réaliser. Si nous sommes sûrs ou certains que cet événement sera réalisé, nous dirons que sa probabilité est de 100% ou 1. Exemple : La probabilité d’obtenir un nombre inférieur { 7 dans un jeu consistant { lancer une fois le dé en l’air est égal { 1. Par contre, si nous sommes sûrs que cet événement ne peut pas se réaliser, nous dirons que sa probabilité est de 0% ou 0. Exemple : La probabilité d’avoir le chiffre 7 dans un jeu consistant { lancer une fois le dé en l’air est égal { 0. Exercice 1 : Trouver la probabilité d’obtenir une face au cours du jet unique d’une pièce de monnaie bien équilibrée. Solution Le jet constitue une épreuve, c’est-à-dire une expérience dont le résultat est « incertain ». Il y a deux éventualités (ou résultats) possibles : pile ou face. Les différents résultats possibles d’une épreuve constituent les évènements élémentaires. Ils sont généralement représentés par des lettres majuscules (A, B, C,…) ou des lettres majuscules indicées (E1, E2, E3,…). L’ensemble de tous ces ensembles est appelé ensemble fondamental. Il sera noté par la lettre S. Chapitre Premier ntroduction aux calculs des probabilités 8 Si la pièce est symétrique et réellement lancée au hasard, chacune de ces deux éventualités a la chance de se réaliser. Ces deux événements sont donc « probables ». Considérons E1 l’événement "obtenir face" et E2, l’évènement "obtenir pile». Parmi les deux résultats possibles de l’ensemble fondamental { } , il n’y a qu’un seul (l’obtention de face) qui est favorable. La probabilité d’avoir face sera donc : Exercice 2 : On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer un roi ? Solution Soit A=l’événement ‘’tirer un roi’’. P D’une manière générale, s’il existe en tout n éventualités s’excluant mutuellement et toutes également probables résultat d’une épreuve (jet d’une pièce, tirage d’une carte…) et si parmi celles-ci il y en a k favorables à un événement A déterminé (ex. le tirage d’un cœur), la probabilité de cet événement est égale à k/n. possibles cas de Nombre A à favorables cas de Nombre n / k ) A ( P   La non réalisation de l’événement A (ou son échec) est dénommé événement contraire, noté ̅ et sa probabilité est ̅ . Il est à noter pour la suite que la probabilité est conçue comme la fréquence théorique d’un événement. Selon cette conception, la probabilité d’un événement est la proportion du nombre de fois que les événements du même type se réaliseront lorsque l’expérience est repérée un très grand de fois. Ceci n’est que la conséquence de la loi de grand nombre. En effet, lorsqu’on désire connaître les chances de réalisation de l’événement particulier associé à une expérience aléatoire, on peut s’y prendre en répétant l’expérience un certain nombre de fois. Le nombre de réalisations de A permet de calculer la fréquence relative : ( ) La conception de la probabilité comme ‘’fréquence relative’’ d’un événement apparaît ainsi clairement. Par exemple, dans une expérience qui consiste { lancer une pièce de monnaie. Si on répète l’expérience 1.000.000 de fois (c’est-à-dire ), la fréquence d’apparition du côté ‘’face’’ se stabilisera autour de 0.5 c’est ainsi que dans l’exercice 1, la probabilité d’obtenir ‘’face’’ nous est donnée par . 9 Exercice 3 : On jette en l’air un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) un nombre pair b) un nombre impair c) un nombre premier Solution Soient S l’ensemble fondamental et A1, A2, A3 les différents événements (un événement est un sous ensemble de l’ensemble fondamental associé { une expérience aléatoire). On a : S = 1,2,3,4,5,6 A1 = 2,4,6 = ensemble de nombres pairs A2 = 1,3,5 = ensemble de nombres impairs A3 = 1,2,3,5 = ensemble de nombres premiers a) P(A1) = 3/6 = 1/2 b) P(A2) = 3/6 = ½ c) P(A3) = 4/6 = 2/3 Exercice 4 : Dans une urne, il y a 10 boules blanches, 20 noires et 30 rouges disposées au hasard. On tire une boule. Quelle est la probabilité pour que la boule tirée soit : a) blanche b) noire c) rouge Solution Soient : A1= l’événement ‘’tirer une boule blanche’’ A2= l’événement ‘’tirer une boule noire’’ A3= l’événement ‘’tirer une boule rouge’’ a) P (A1) = 10/60 = 1/6 b) P (A2) = 20/60 = 1/3 c) P (A3) = 30/60 = 1/2. Exercice 5 : On tirer une carte au hasard dans un paquet de 52 cartes à jouer. Evaluer la probabilité de tirer : a) un cœur b) un trois de trèfle c) un joker d) une carte rouge ou noire 10 Solution Soient : E1=l’événement ‘’tirer un cœur’’ E2=l’événement ‘’tirer un trois de trèfle’’ E3=l’événement ‘’tirer un joker’’ E4=l’événement ‘’tirer une carte rouge ou noire’’ a) P (E1) = 13/52 b) P (E2) = 1/52 c) P (E3) = 0/52 = 0 d) P (E4) = 1. Remarque 1. Un événement certain a donc une probabilité égale à 1 : tandis qu’un événement impossible a une probabilité nulle. Entre les deux extrêmes, il y a toute la gamme des événements qui sont simplement possibles. Une probabilité est donc toujours comprise entre 0 et 1. 0 ≤ P ≤ 1. 2. La somme des probabilités de uploads/Litterature/ statistique-pour-economiste-cours-et-exe-pdf.pdf