Universit´ e Paris Dauphine Feuille d’exercices du cours d’Analyse 2 DUMI2E — P

Universit´ e Paris Dauphine Feuille d’exercices du cours d’Analyse 2 DUMI2E — Premi` ere ann´ ee La plupart des exercices de ce fascicule sont issus de recueil d’exercices disponibles sur internet, souvent avec les corrections. Le site exo7.emath couvre le programme du cours (et tr` es largement au-del` a), propose des exercices avec corrections, des cours (polycopi´ e et MOOCS), etc... Il est h´ eberg´ e par la SMAI et la SMF. Adresse du site : • http://exo7.emath.fr/ Quelques exercices ´ etant un peu plus d´ elicats, des indications, ´ ecrites en sens inverse, sont sugg´ er´ ees. Il est conseill´ e au lecteur d’essayer dans un premier temps de r´ esoudre ces exercices sans tenir compte des indications. 1 Universit´ e Paris Dauphine DUMI2E 1e ann´ ee Analyse 2 — 2015-2016 Feuille 1 de TD Fonctions trigonom´ etriques et hyperboliques Exercice 1 1. Calculer (i) arcsin(sin(1)), (ii) arcsin(sin(19π 5 )), (iii) arctan(tan(16π 5 )). 2. D´ eterminer le domaine de d´ efinition des fonctions suivantes et les calculer : (i) x →sin(arcsin(x)), (ii) x →arcsin(sin(x)), (iii) x →tan(arctan(x)), (iv) x →arctan(tan(x)). 3. En s’inspirant de la question ci-dessus, calculer cos(arctan(x)) et sin(arctan(x)) pour x r´ eel donn´ e. Exercice 2 1. Calculer arccos(x) + arcsin(x) pour tout x ∈[−1, 1]. 2. En d´ eduire la solution de l’´ equation arccos(x) + arcsin(x2 −x + 1) = π/2. Exercice 3 On pose x = arctan( √ 2). 1. Montrer que 0 < π −2x < π/2 et calculer tan(π −2x). 2. En d´ eduire que arctan(2 √ 2) + 2 arctan( √ 2) = π. Exercice 4 Soit f(x) = argsh  2x √ 1 + x2  . 1. D´ eterminer le domaine de d´ efinition de f et montrer que f est de classe C1 sur son domaine de d´ efinition. 2. Calculer f′(x) et en d´ eduire une expression simple de f. Exercice 5 1. Montrer que, pour tout x ∈R, 2 arctan( p 1 + x2 −x) + arctan(x) = π/2. 2. Montrer que la fonction h(x) = arctan( √ 1 + x2 −x) est une bijection de R dans ]0, +∞[. 3. Soit x ∈R tel que h(x) = π/8. En utilisant la premi` ere question, calculer x et en d´ eduire la valeur de tan(π/8). 4. Calculer de mˆ eme tan(π/12). Exercice 6 Montrer que l’´ equation suivante poss` ede une unique solution dans ]0, 1/2[ et la calculer : arctan(2x) + arctan(x) = π 4 . 2 Universit´ e Paris Dauphine DUMI2E 1e ann´ ee Analyse 2 — 2015-2016 Feuille 2 de TD D´ eveloppements limit´ es Exercice 1 Donner le d´ eveloppement limit´ e en x0 ` a l’ordre n des fonctions: 1. f1(x) = (ln(1 + x))2 (n = 4 , x0 = 0) 2. f2(x) = ln(sin(x)) (n = 3 , x0 = π 4 ) 3. f3(x) = esin(x) (n = 3 , x0 = 0) 4. f4(x) = cos(x). ln(1 + x) (n = 3 , x0 = 0) 5. f5(x) = (1 + x) 1 1+x (n = 3 , x0 = 0) 6. f6(x) = ln(tan(x 2 + π 2 )) (n = 2 , x0 = −π 2 ) 7. f5(x) = p 1 + √1 + x (n = 2 , x0 = 0) Exercice 2 (Taylor-Young) 1. Soit: g(x) = ex −e−x ex + e−x Ecrire la formule de Taylor-Young ` a l’ordre 3 pour x0 = 0. En d´ eduire la position de la tangente au point d’abscisse x = 0 par rapport au graphe de g, au voisinage de 0. 2. Soit: h(x) = ln2(1 + x). Ecrire la formule de Taylor-Young ` a l’ordre 3 pour x0 = 0. 3. On consid` ere la fonction f d´ efinie sur ] −1, 0[∪]0, +∞[ par: f(x) = h(x) −x2 x −g(x) . D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que f admet une limite lorsque x tend vers 0. Exercice 3 Calculer les limites suivantes: 1. lim x→0 ex2 −cos(x) x2 . 2. lim x→0 ln(1 + x) −sin(x) x . 3. lim x→0 cos x − √ 1 −x2 x4 . 4. lim x→0 ln(cos(ax)) ln(cos(bx)) avec a ̸= 0 et b ̸= 0. 3 5. lim x→a xa −ax xx −aa , avec a > 0. Exercice 4 [Rattrapage 2008] Calculer, si elles existent, les limites lim x→0 f(x), lim x→+∞f(x) et lim x→−∞f(x), o` u la fonction f est d´ efinie sur R \ {0} par f(x) := x3 + sin(2x) −2 sin x arctan(x3) −(arctan x)3 . Exercice 5 D´ eterminer les valeurs du param` etre r´ eel a telles que lim x→0 eax + ex −2 x2 existe et est finie. Exercice 6 Calculer le DL d’ordre 5 de la fonction log(1 + sin x) au voisinage du point x = 0. Exercice 7 Soit g la fonction x →arctan x (sin x)3 −1 x2 . 1. Donner le domaine de d´ efinition de g. 2. Montrer qu’elle se prolonge par continuit´ e en 0 en une fonction d´ erivable. 3. D´ eterminer la tangente en 0 au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par rapport ` a celle-ci. Exercice 8 Pour tout entier n ∈N, on pose un = n X k=1 (−1)k+1 1 k. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange ` a la fonction x →ln(1 + x), estimer la diff´ erence |un −ln(2)| et en d´ eduire que (un)n est une suite qui converge vers ln 2. Exercice 9 Soit f(x) = 6x6 + 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x. Ecrire le d´ eveloppement limit´ e de f ` a l’ordre 3 au point x0 = 1 et d´ eterminer le ou les points ξ qui r´ ealisent l’´ egalit´ e dans la formule de Taylor-Lagrange quand on d´ eveloppe f(x) autour de x0 = 1 et on prend apr` es x = 0 Exercice 10 Soit f(x) = sin(x2) −(sin x)2. D´ eterminer si le point x0 = 0 est un point de minimum ou de maximum local de f. Pr´ eciser ´ egalement s’il s’agit d’un minimum ou maximum global. Mˆ emes questions pour les fonctions g(x) = arctan(x3) −(arctan x)3 et h(x) = (arctan x)2 −x2. Exercice 11 (Calcul d’asymptotes) D´ eterminer si les fonctions suivantes admettent une asymptote en +∞, en −∞. Si oui, la calculer et d´ eterminer la position de la courbe par rapport ` a l’asymptote. (i) f1(x) = x2 ln x + 1 x  (ii) f2(x) = x + 1 1 + e1/x (iii) f3(x) = p x2 + 1 − p x2 −1 4 Exercice 12 (Etude locale d’une courbe) Soit f la fonction d´ efinie sur R par f(x) = 1 1 + ex . 1. Donner un d´ eveloppement limit´ e de f ` a l’ordre 3 en z´ ero. 2. En d´ eduire que la courbe repr´ esentative de f admet une tangente au point d’abscisse 0, dont on pr´ ecisera l’´ equation. 3. Prouver que la courbe traverse la tangente en 0. Un tel point est appel´ e point d’inflexion. Exercice 13 (Position relative d’une courbe et de sa tangente) Soit f la fonction d´ efinie sur R par f(x) = ln(x2 +2x+2). Donner l’´ equation de la tangente ` a la courbe repr´ esentative de f au point d’abscisse 0 et ´ etudier la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point. Exercice 14 (Application des formules de Taylor) 1. Soit f : R →R de classe C2 telle que |f(x)| ≤C0 et |f′′(x)| ≤C2 pour tout x ∈R (o` u C0 et C2 sont des constantes fix´ ees). (i) Soit x ∈R. En utilisant la formule de Taylor avec reste int´ egral ` a l’ordre 1 entre x et x + 2a (o` u a > 0), montrer que |f′(x)| ≤C0/a + aC2. (ii) En d´ eduire que |f′(x)| ≤2√C1C2 pour tout x ∈R. 2. Soit f : R →R de classe C2. Calculer lim h→0 f(x + h) + f(x −h) −2f(x) h2 3. f : R →R de classe C∞telle que f(n)(0) = 0 pour tout n ∈N. On suppose qu’il existe une constante C > 0 telle que |f(n)(x)| ≤n! Cn pour tout x ∈R. Montrer alors que f(x) = 0 pour tout x ∈R (on pourra d’abord montrer que f(x) = 0 si x ∈] −1/C, 1/C[). Exercice 15 (Recherche d’´ equivalent) Calculer des ´ equivalents simples des suites suivantes : (i) ∀n ∈N∗, un = (n ln(1 + 1 n))n, (ii) ∀n ∈N∗, vn = p ln(n + 1) − p ln(n) (iii) ∀n ∈N∗, wn = n 1 1+n2 −1. 5 Universit´ e Paris Dauphine DUMI2E 1e ann´ ee Analyse 2 — 2015-2016 Feuille 3 de TD Convexit´ e Exercice 1 D´ eterminer si les fonctions suivantes sont convexes ou concaves sur l’intervalle consid´ er´ e : 1. f1(x) = |x|3/2 sur R 2. f2(x) = |x|1/2 sur uploads/Litterature/ analyse2td-2015-2016.pdf

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littérature exercice montrer calculer fonction eterminer
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