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Control e final 2018 Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Département de Mathématiques Année universitaire SMA S Algèbre Contrôle ?nal Durée h juin Exercice Soit E M R le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d ? ordre et soit H u

Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Département de Mathématiques Année universitaire SMA S Algèbre Contrôle ?nal Durée h juin Exercice Soit E M R le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d ? ordre et soit H un hyperplan de E On pose E E E E Montrer que E E E E est une base de E Montrer qu ? il existe ?? R tel que H a a a a ??E a a a a Supposons ij pour i j ou i j Posons Aij E E ?? ij Eij Montrer que Aij ?? H ?? GL R Supposons que et soit A E E Montrer que A ?? H ?? GL R Conclure Exercice Soit q la forme quadratique sur R donnée par q x y z t x y ?? z t ?? xy xt ?? yt zt ?? x y z t ?? R Donner la matrice de q dans la base canonique de R Décomposer la forme quadratique q en somme de carrés de formes linéaires linéaire- ment indépendantes En déduire le rang et la signature de q La forme quadratique q est-elle dégénérée Justi ?er votre réponse La forme quadratique q est-elle positive Justi ?er votre réponse Déterminer une base q-orthogonale de R Déterminer le noyau de q Déterminer le cône isotrope de q CExercice Soit E un espace euclidien de dimension n ? Un endomorphisme f de E est dit normal resp antisymétrique si f f ? f ? f resp f ? ??f On note S E resp A E le sous-espace vectoriel de L E des endomorphismes symétriques resp antisymétriques de E Montrer que L E S E ? A E Soit f ?? L E et f g h avec g ?? S E et h ?? A E Montrer que f est normal si et seulement si g h h g Soit f un endomorphisme normal de E Montrer que f u f ? u ??u ?? E Soit f ?? L E tel que f u f ? u ??u ?? E Montrer que f est normal Soit f ?? L E Montrer que f est antisymétrique si et seulement si f u u ??u ?? E Montrer que si f est un endomorphisme normal de E alors Ker f Im f ? Soit f une projection vectorielle de E Montrer que f est normal si et seulement si f est une projection orthogonale Soit f ?? L E tel que f f IdE f est une symétrie vectorielle Montrer que f est normal si et seulement si f est une symétrie orthogonale C