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David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 T.D. 1 – Corr

David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 T.D. 1 – Corrigé Systèmes de numération entière Exercice 1 Représentez le nombre 24810 dans les bases 2, 3, 8, 9 et 16. (Utilisez la technique des divisions successives pour les bases 2, 3 et 16.) ●Base 2 248 / 2 = 124 reste 0 124 / 2 = 62 reste 0 62 / 2 = 31 reste 0 31 / 2 = 15 reste 1 15 / 2 = 7 reste 1 7 / 2 = 3 reste 1 3 / 2 = 1 reste 1 1 / 2 = 0 reste 1  24810 = 111110002 ●Base 3 248 / 3 = 82 reste 2 82 / 3 = 27 reste 1 27 / 3 = 9 reste 0 9 / 3 = 3 reste 0 3 / 3 = 1 reste 0 1 / 3 = 0 reste 1  24810 = 1000123 ●Base 8 On peut s’aider de la représentation binaire en regroupant les chiffres par paquets de trois (23 = 8). 24810 = 11 111 0002  24810 = 3708 ●Base 9 On peut s’aider de la représentation en base 3 en regroupant les chiffres par paquets de deux (32 = 9). 24810 = 10 00 123  24810 = 3059 ●Base 16 248 / 16 = 15 reste 8 15 / 16 = 0 reste 15  24810 = F816 T.D. 1 – Corrigé 1/6 David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 Exercice 2 Représentez les nombres 13125, 13128, 2FA816 en base 10. ●13125 = 1.53 + 3.52 + 1.51 + 2.50 = 20710 ●13128 = 1.83 + 3.82 + 1.81 + 2.80 = 71410 ●2FA816 = 2.163 + 15.162 + 10.161 + 8.160 = 1220010 Exercice 3 Représentez les nombres 2810, 12910, 14710, 25510 sous leur forme binaire par une autre méthode que la division successive. On écrit la valeur des différents poids binaires, puis en commençant par le poids le plus fort, on positionne les bits à 0 ou à 1 en fonction de la somme de leur poids. 128 64 32 16 8 4 2 1 2810 →0 0 0 1 1 1 0 0 12910 →1 0 0 0 0 0 0 1 14710 →1 0 0 1 0 0 1 1 25510 →1 1 1 1 1 1 1 1 Exercice 4 1. Les nombres 110000102, 100101002, 111011112, 100000112, 101010002 sont-ils pairs ou impairs ? Les nombres pairs se terminent par au moins un zéro : 110000102, 100101002, 101010002 2. Lesquels sont divisibles par 4, 8 ou 16 ? ●Les nombres divisibles par 4 se terminent par au moins deux zéros : 100101002, 101010002 ●Les nombres divisibles par 8 se terminent par au moins trois zéros : 101010002 ●Les nombres divisibles par 16 se terminent par au moins quatre zéros : Aucun nombre. T.D. 1 – Corrigé 2/6 David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 3. Donnez le quotient et le reste d’une division entière par 2, 4 et 8 de ces nombres. 11000010 10010100 11101111 10000011 10101000 quotient reste quotient reste quotient reste quotient reste quotient reste /2 1100001 0 1001010 0 1110111 1 1000001 1 1010100 0 /4 110000 10 100101 00 111011 11 100000 11 101010 00 /8 11000 010 10010 100 11101 111 10000 011 10101 000 4. En généralisant, que suffit-il de faire pour obtenir le quotient et le reste d’une division entière d’un nombre binaire par 2n ? ●Pour le quotient : il faut réaliser un décalage de n bits vers la droite du nombre. ●Pour le reste : il faut réaliser un et logique de 2n-1 avec le nombre. Les décalages et autres opérations logiques sont nettement plus rapides à réaliser pour un microprocesseur que l’opération de division. Exercice 5 1. Si on désire multiplier un nombre binaire quelconque par 2 ou une puissance de 2, quelle autre opération peut-on réaliser pour éviter la multiplication ? Un décalage logique d’un seul bit vers la gauche, sur un nombre binaire, équivaut à une multiplication par 2. Ainsi un décalage logique de n bits vers la gauche équivaut à une multiplication par 2n. 2. Multipliez le nombre binaire 100010012 par 3 et par 10 en utilisant la technique traditionnelle de la multiplication. ●Multiplication par 3 100010012 × 112 100010012 +1000100102 1100110112 ●Multiplication par 10 100010012 × 10102 1000100102 +100010010002 101010110102 T.D. 1 – Corrigé 3/6 David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 3. Si on désire multiplier un nombre binaire quelconque par 3 ou par 10, quelle méthode peut-on utiliser pour éviter la multiplication ? ●3n = 2n + n Sous cette forme, il apparaît une multiplication par 2 (équivalente à un décalage d’un bit vers la gauche) et une addition. ●10n = 8n + 2n Sous cette forme, il apparaît une multiplication par 8 (équivalente à un décalage de 3 bits vers la gauche), une multiplication par 2 (équivalente à un décalage d’un bit vers la gauche), et une addition. Si le multiplicateur est connu, on peut le décomposer de sorte à n’avoir comme opérations que des décalages et des additions qui sont nettement plus rapides à réaliser pour un microprocesseur que des multiplications. Exercice 6 Donnez les valeurs décimales, minimales et maximales, que peuvent prendre des nombres signés et non signés codés sur 4, 8, 16, 32 et n bits. Bits Non Signé Signé 4 0 15 -8 7 8 0 255 -128 127 16 0 65535 -32768 32767 32 0 232 - 1 -231 231 - 1 n 0 2n - 1 -2n-1 2n-1 - 1 Exercice 7 1. Combien faut-il de bits, au minimum, pour coder les nombres non signés 4896510 et 996524510 ? ●48965 À partir du tableau de l'exercice 6, on en déduit que la plus grande valeur d'un nombre non signé codé sur n bits (2n - 1), doit être supérieure ou égale à 48965. 2n−148965 2n48966 ln 2nln 48966 n⋅ln2ln48966 nln48966 ln2 n15,58 ⇨ nmin = 16 T.D. 1 – Corrigé 4/6 David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 ●9965245 En utilisant le même raisonnement que précédemment, on obtient : 2 n−19965245 2 n9965246 ln 2 nln 9965246 n⋅ln2ln9965246 nln9965246 ln2 n23,25 ⇨ nmin = 24 2. Combien faut-il de bits, au minimum, pour coder les nombres signés –510 et 2810 ? ●-5 À partir du tableau de l'exercice 6, on en déduit que la plus petite valeur d'un nombre signé codé sur n bits (-2n-1), doit être inférieure ou égale à -5. −2 n−1−5 2 n−15 ln 2 n−1ln 5 n−1 ⋅ln2ln5 n−1ln 5 ln 2 nln 5 ln21 n3,33 ⇨ nmin = 4 ●+28 À partir du tableau de l'exercice 6, on en déduit que la plus grande valeur d'un nombre signé codé sur n bits (2n-1 - 1), doit être supérieure ou égale à 28. 2 n−1−128 2 n−129 ln 2 n−1ln 29 n−1 ⋅ln2ln29 n−1ln 29 ln 2 nln29 ln21 n5,86 ⇨ nmin = 6 Exercice 8 1. Représentez sous forme décimale le nombre 111111112 codé sur 8 bits signés. Le bit de poids fort vaut 1 : le nombre est négatif. On effectue son complément à 2 : (111111112)C2 = 000000002 + 12 = 12 La représentation décimale est donc de -110. T.D. 1 – Corrigé 5/6 David Bouchet – Architecture des ordinateurs – Info-Spé 2010/2011 2. Représentez sous forme décimale le nombre 111111112 codé sur 16 bits signés. Le bit de poids fort vaut 0 (00000000111111112) : le nombre est positif. On effectue une simple conversion binaire-décimal : 111111112 = 12810+6410+3210+1610+810+410+210+110 = 25510 La représentation décimale est donc de +25510. 3. Représentez les opposés binaires et hexadécimaux, sur 8 bits signés, du nombre 8010. On convertit sa valeur absolue en binaire : 8010 = 010100002 On effectue son complément à 2 : (010100002)C2 = 101011112 + 12 = 101100002 Ce qui donne : 101100002 en binaire. B016 en hexadécimale. 4. Représentez les opposés binaires et hexadécimaux, sur 16 bits signés, du nombre 8010. Une simple extension de signe suffit pour passer de 8 bits à 16 bits signés. Ce qui donne : 11111111101100002 en binaire. FFB016 en hexadécimale. T.D. 1 – Corrigé 6/6 uploads/Litterature/ td-01-corrige 2 .pdf