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ProbabilitéI –VocabulairesII –Probabilité d’un évènementIII -Probabilité condit

ProbabilitéI –VocabulairesII –Probabilité d’un évènementIII -Probabilité conditionnelleIV –Variables aléatoiresAHMED AGOUZALV –Loi binomiale Remarque: Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé bien équilibré, le tirage des boules simultanément ou successivement avec remise ou sans remise… sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat. Le résultat dépend en effet du hasard. Lançons un dé, a l’arrêt, sa face supérieure porte l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si le dé est non truqué (on dit encore bien équilibré ou parfait). Nous sommes incapables de prévoir quelle face va apparaître. Nous sommes en présence d’une expérience aléatoire. 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les résultats ou les cas possibles ou les issues ou les éventualités. L’ensemble des éventualités est l’univers . = 1, 2, 3, 4, 5 , 6I –Vocabulaires Evénement3 – Evénement élémentaire C = {3} est un événement qui ne contient qu'une seule éventualité. On dit que c'est un événement élémentaire.Probabilité Considérons = 1, 2, 3, 4, 5 , 6 l'univers ou ensemble des éventualités de cette expérience. L'événement A= {1, 3, 5} est une partie de est l'événement "Obtenir un nombre impair" B = {2, 4, 6} est l'événement "Obtenir un nombre pair L’univers est l’événement certain. L’ensemble vide est l’événement impossible. Evénement incompatible l'événement A "Obtenir un nombre impair" et soit l’événement D ={4, 6}. Aucune éventualité ne réalise simultanément A et D; on dit que A et D sont incompatibles et on note A D = 5 – Evénement contraire Soit E "Obtenir un nombre premier" donc E = {2, 3, 5} On note l'événement contraire de E dans c'est-à-dire "obtenir un nombre non premier". On a E = {2, 3, 5} donc On a = 1, 2, 3, 4, 5 , 6 E   1,4,6 E  E E  Probabilité ProbabilitéAHMED AGOUZAL II- Probabilité Soit E une épreuve aléatoire. L'ensemble des éventualités est = {1,2, ..., n}. - A chaque événement élémentaire {i} est associé un nombre réel, élément de [0;1] appelé probabilité de l'événement élémentaire tel que : p({1}) + p({2}) + ...+ p({n}) = 1 - La probabilité de tout événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. - p() = 1. - Si A =  alors p(A) = 01 – Définition ProbabilitéAHMED AGOUZAL2 – L'hypothèse d'équiprobabilité Lorsque les événements élémentaires d’une expérience ont la même Probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. Les situations d’équiprobabilité sont généralement suggérées par des expressions comme: On tire au hasard", boules indiscernables au toucher", "dé bien équilibré", "dé non pipé" ... Soit p une probabilité sur un univers  Dans l'hypothèse d'équiprobabilité, le nombre total d'éventualités étant n, si un événement A est constitué de m éventualités alors sa probabilité est : card(A) le nombre de cas favorables card() le nombre de cas possibles ( ) m p A n  ( ) ( ) ( ) Card A p A Card   propriété 3 – Propriétés des probabilitésAHMED AGOUZALProbabilité Calculer la probabilité des événements suivants: A « les trois questions sont en géométrie » B « une seule question pour chaque matière » C « au moins une question en géométrie » 2)L’étudiant tire les 3 questions l’une après l’autre sans remise Calculer la probabilité des événements A, B et C. Un examen oral de mathématique comporte 5 questions en géométrie, 4 questions en algèbre et 3 questions en analyse. 1)L’étudiant tire simultanément 3 questions d’un sac contenant les 12 questions. 3)L’étudiant tire les 3 questions l’une après l’autre avec remise Calculer la probabilité des événements A, B et C.4 –Exemple Solution:AHMED AGOUZALProbabilité Probabtlitt! 2) L'etudiant tire les 3 questions 'une a pres 'autre sans remise Tirage successif de 3 boules sans rentise panni 12 Card(Q ., = Ai2 = 1320 ca lcu latrice 12 npr 3 = 1320 (; ·d(A - .. 3 - 6· o· D . (A)· - card(A , - 60 - 1 d, , ( ) - 1 ,al · · .· · ·' - As - · · one P · -card(Q . 1 - 1320 -22 ,ou p A ' -22 ·C ··d(B·-...,!(Al A·l ·A··l)-36·10 D1 (B)-card(B,_ 360 - 3 · at · · ' · ' -- 1 · . 5 x · · · 4 x · 3 · - ·. 0 n,c P · .·· - · · ·d· (. r'I, - 1 "'. · 20 --11· ca1 . ,:!.,!; , .Ji 1 Premiere methode C « au mo·ins une q1uestio,n en geo,m,etrie » I 'evenem1ent contiraiire die C est : C « aueune question en geometrie » ; .. · .. -. . . 3 . . . -.. card(C:) 210 7 Card(C) = A = 210 done p(C) = .... ·d(Q, = l "'20 = 441. ca1... .Ji , , Onsai'itque p(C)=l-p(C) done 11(C)=l-- d'ou d'ou p(C:)= 4 3 4 7 44 Deuxieme methode ·Ca1·d(C 1 =3(A!xA )+3(A xA)+ Aĝ: =1110 Done (C) = card(C) = 1110 = 37 d/ou p(C) = 4347 p ca1·d(Q 1320 44 Probabtlitt! 3) L'etudiant tire, l,es 3 questions l'une apres l'autre avec remise Ti.rage successif de 3 boules a, ec re1nise panni 12 Card( Q) = I 23 = 1 72 C ·d(A) 53 12·5 . . (A···. card A) 125 d'ou' p(A .. ) = 125 · ar · · · = = · · Done P = card .Q) = 1728 · 1728 Card(B) = 6(51 x 41 x 31 ) = 360 Done p(B = ca.fd(B) = "'60 = _i_ card( Q) 1728 24 Premiere methode C « au moins une question en geometrie » l'evenement contraire de C est C « aucune ,question en geometrie » -. . 3 . -. card(C 343 Card C) = 7 = 343 done p C) = . , = .·· ' , , card(Q 1728 d' OU p(B) = 2.. · 24 - , 343 On s.ait que p(C) = l-11(C) done p(C) = 1-1728 d' OU 11(C) = 1385 , 1728 Deuxieme methode /. Card(C)=3 51 x72)+3(52 x71)+53 =1385 Done p{C) = card(C) = 1385 d'ou p(C) = 1385 card(.Q) 1728 1728 Exercice Dans une urne se trouve 9 jetons : Quatre jetons rouges numérotés 0;1;1;2 et trois jetons verts numérotés 1; 2; 2 et deux jetons noirs numérotés 1; 3 1) On tire simultanément et au hasard trois jetons de l’urne On considère les évènements suivants: A Obtenir 3 jetons verts  ; B Obtenir 3 jetons de même couleurs  C Obtenir 3 jetons de couleurs différents  D Obtenir 3 jetons qui portent le même numéro E Obtenir au moins un jeton qui porte le numéro 1 F Obtenir au plus un jeton vert  G Obtenir 3 jetons de couleurs différents deux à deux Déterminer La probabilité des évènements A; B; C; D; E; F; G. 2) Même question pour le tirage successif de trois jetons avec remise. 3) Même question pour le tirage successif de trois jetons sans remise.AHMED AGOUZALProbabilité 1) Définition:AHMED AGOUZALProbabilitéIV –Probabilité conditionnelle 2) Evénements indépendants: A et B deux événements de probabilité non nulle. A et B sont indépendants si et seulement si p(A B) = p(A) p(B) La probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé est le nombre réel noté PA(B) ou P(B/A) donc ; ( ) ( ) ( ) A p A B P B p A   ( ) 0 p A  ExempleAHMED AGOUZALProbabilité 4. Donner la probabilité de l’événement C« Les jetons tirés ont le même numéro sachant que les trois jetons tirés de couleurs différents deux à deux » A « Les trois jetons tirés ont le même numéro » B « Les trois jetons tirés de couleurs différents deux à deux » Solution:AHMED AGOUZALProbabilité 1) Exemple introductif: Probabtlite La probabilit' qu X oit egaJ a 1 t note p(X= 1) · 11 t / gal a la probabilit' de I / v n m nt « tir r 1 boul r ug t 1 b ul blanch ó » · p(X = 0 = c x cl = g = 4 C7 21 7 La probabilite qu X oit egal a 2 L t note p(X=2) · ell e t egal a la probabilite d 1 "'ven m nt << tir r 2 boul roug t O boul blanch » · 0 (X =2)= C XC4 --=! P c2 21 7 7 Ce re ultat peuvent e pre enter dan un tableau la premiere lign indiquant le valeuL po sible x de X. - - - - - - - X 0 1 2 p(X = x) 2 4 1 - - - 7 7 7 - - - - - C tabl au d / finit la loi d probabilit/ de X,. I - - 2) Variable aléatoire ––Loi de probabilité: Loi de probabilité: 3 – Espérance mathématique a) Définition Soit une variable aléatoire X prenant les uploads/Litterature/ 2bac-probabilites.pdf