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Année universitaire 2022/2023 Variable aléatoire- lois de probabilités Travaux

Année universitaire 2022/2023 Variable aléatoire- lois de probabilités Travaux dirigés Chapitres 1-2 Exercice 1 Une variable aléatoire est établie par la loi de probabilité suivante : Année universitaire 2022/2023 Soit sa fonction de répartition. a) Calculer . b) Calculer c) Calculer d) Calculer Année universitaire 2022/2023 Exercice 2 Soit X la durée de vie d’une ampoule. La fonction de densité de la variable aléatoire X est Où λ est le taux de défaillance. 1. Déterminer, en fonction de λ, la probabilité que l’ampoule fonctionne pendant au moins heures. Année universitaire 2022/2023 2. Calculer la probabilité qu’une ampoule ayant fonctionné pendant 100 heures fonctionne encore 150 heures additionnelles. 3. Sachant que pour ce type d’ampoule , Déterminer Exercice 3 : approximation de la loi binomiale par la loi de poisson Dans une chaîne de fabrication, 5 % des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses. Année universitaire 2022/2023 1. Justifier que X suit une loi binomiale, en préciser les paramètres. 2. Calculer 3. Montrer qu’une approximation de la loi binomiale par une loi de poisson convient 4. Calculer P(X = 5) à l’aide de l’approximation. Comparer pour apprécier la qualité de comparaison. Année universitaire 2022/2023 Exercice 4 : loi normale 5. Soit une variable aléatoire de loi normale N(0.1). 6. Déterminer p(x<0.41) , p(x<-0.2), p(x>-1.54) , p(-0.63<x<1.2) 7. Déterminer u tel que p(x<u)=0.75 8. Soit Y une variable aléatoire de loi normale N(1.4) Quelle est la loi de la variable aléatoire (y-1)/2. ? Calculer p(0<x<2) . 9. Déterminer u tel que p(y>u)=0.05 Exercice 5 : approximation de la loi binomiale par la loi normale Année universitaire 2022/2023 On lance 300 fois une pièce de monnaie truquée ce qui constitue une partie. La probabilité d’obtenir face est . On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque partie associe le nombre de « faces » obtenus. 1. Justifier que X suit une loi binomiale, en préciser les paramètres. Peut-on calculer simplement p(x>210) ? 2. Montrer qu’une approximation de la binomiale par une loi normale convient. Calculer p(x>210) à l’aide de l’approximation. Exercice 6 Année universitaire 2022/2023 Une entreprise fabrique des perceuses. Un tirage au hasard de 1 000 perceuses étant assimilé à un tirage avec remise, on appelle X la variable aléatoire qui à chaque lot de 1 000 perceuses associe le nombre de perceuses non défectueuses de ce lot. On admet que X suit la loi binomiale (1000 ; 0,9875). On veut calculer la probabilité que 982 perceuses au moins ne soient pas défectueuses. 1. Calculer et . Donner, sans la calculer, l'expression de . 2. Pour calculer la valeur approchée de on admet qu'il est légitime d'utiliser la loi normale . Déterminer à 10-2 près par défaut. Année universitaire 2022/2023 Exercice 7 Loi de Poisson . On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre d'une ampoule. On admet que X obéit à la loi de Poisson de paramètre Calculer la probabilité des événements suivants: 1. Il n'y a aucun défaut sur l'ampoule. 2. Il y a plus de 2 défauts sur l'ampoule. 3. Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5 (bornes comprises) Exercice 8 Année universitaire 2022/2023 Une entreprise fabrique en série des boîtes en carton. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la hauteur d'une boîte en carton. On admet que X suit la loi normale de moyenne 2,5 cm et d'écart type 0,2 cm. 1. Calculer la probabilité qu'une boîte, choisie au hasard dans la production, ait une hauteur inférieure à 2,25 cm. 2. Déterminer le réel a tel que la probabilité que X soit inférieure à a, ait pour valeur 0,67. Exercice 9 Dans cet exercice, n est un entier strictement supérieur à 1. Année universitaire 2022/2023 Une entreprise fabrique des composants électroniques en grand nombre. La probabilité pour qu'un composant de cette fabrication soit défectueux est : p = 0,04. Un tirage au hasard de n composants de cette fabrication étant assimilé à un tirage avec remise, on appelle la variable aléatoire qui, à chacun de ces tirages, associe le nombre de composants défectueux obtenus dans ce tirage. 1. Indiquer quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Pour n = 8, donner l'expression de P( X = k ) où et calculer la probabilité d'avoir exactement 3 composants défectueux dans le tirage, puis celle d'avoir au moins 2 composants défectueux dans le tirage. Année universitaire 2022/2023 2. Si n = 50, on admet que l'on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson dont le paramètre est égal à l’espérance mathématique de X. a.) Déterminer l'espérance mathématique E(X) de X pour n = 50 et en déduire . b.) Calculer, avec la précision permise par la table, et en utilisant cette loi de Poisson, la probabilité d'avoir exactement 4 composants défectueux dans le tirage, puis celle d'en avoir au plus 3. 3. Si n = 600, on admet que l'on peut approcher la loi de X par la loi normale de moyenne et d'écart type , où est l'espérance mathématique de X et l'écart type de X. Année universitaire 2022/2023 a.) Déterminer et , moyenne et écart type de la variable X pour n = 600. b.) En utilisant cette loi normale, calculer, avec la précision permise par la table, la probabilité d'avoir au moins 27 composants défectueux dans un tirage de 600 composants. Exercice 10 1. Soient et deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives et Quelle est la loi de la somme X + Y ? Année universitaire 2022/2023 2. Déterminer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson. uploads/Litterature/ td-chap-1-2-3-encg-variable-alea-bin-poi.pdf