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THÉORIE ET TRAITEMENT DU SIGNAL 1. Représentation des signaux et des systèmes w

THÉORIE ET TRAITEMENT DU SIGNAL 1. Représentation des signaux et des systèmes www.biblio-scientifique.net , THEORIE ET TRAITEMENT DU SIGNAL 1. Représentation des signaux et des systèmes Cours et exercices corrigés Messaoud Benidir Professeur à l'université Paris Xl-Orsay et à l'École Supérieure d'Électricité DU NOD www.biblio-scientifique.net Consultez nos catalogues sur le Web=~""""'· Illustration de couverture: Stéphane Degeilh Ce pictogramme mérite une explication. êtablissements d'enseignement supérieur, Son objet est d'alerter le lecteur sur provoquant une boisse brutale des achats la menace que représente pour l'avenir de livres el de revues, ou point que la de l'écrit, particulièrement dans ,..------, possibilité même pour les auteurs le domaine de l'édition tech- DANGER de créer des œuvres nouvelles et nique et universitaire, le dévelop- ® de les foire éditer correctement pement massif du photo- est aujourd'hui menacée. copillage. Nous rappelons donc que Le Code de la propriété toute reproduc!ion, partielle ou intellectuelle du 1 cr juillet 1992 ~:= totale, de la présente publication interdit en eFFet expressément la est interdite sons outorisotion du photocopie à usage caltectif Centre fronçais d'exploitation du sons autorisation des ayants droit. Or, droit de copie (CFC, 20 rue des Grands- cette pratique s'est généralisée dans les Augustins, 75006 Paris). © Dunod, Paris, 2002 ISBN 2 10 005984 X Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite selon le Code de la propriété intellectuelle (Art L 122-4) et constilue une contrefaçon réprimée par le Code pCnal. • Seules sont autorisées (Art L 122·5) les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage prive du copiste et non destinées à une utilisation collective, ainsi que les analyses et courtes citations justifiées par le caractère critique, pédagogique ou d'information de l'œuvre à laquelle elles sont incorporées, sous réserve, toutefois, du respect des dispositions des articles L 122·10 à L 122-12 du même Code, relatives à la reproduction par reprogmphic. www.biblio-scientifique.net Table des matières CHAPITRE 1 • REPRÉSENTATIONS TEMPORELLES ET FRÉQUENTIELLES D'UN SIGNAL DÉTERMINISTE 1.1 Représentations temporelles 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Différents types de signaux Différents types de systèmes Les systèmes invariants ou filtres 1.2 Représentations fréquentielles 1.2.1 Série de Fourier et projections associées à un signal 1.2.2 Transformée de Fourier des signaux d'énergie finie 1.2.3 Transformée de Fourier des signaux d'énergie infinie 1.2.4 Transformée de Fourier d'un signal périodique 1.2.5 Transformée de Fourier multidimensionnelle 1.2.6 Transformée discrète et transformée rapide 1 4 5 10 10 12 16 22 25 25 EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS 31 CHAPITRE 2 • REPRÉSENTATIONS ÉNERGÉTIQUES ET SYMBOLIQUES D'UN SIGNAL DÉTERMINISTE 47 2.1 Représentations énergétiques 2.1.1 Corrélation et densité spectrale 2.1.2 Filtrage et formule des interférences 2.1.3 Filtrage, exemple du filtre adapté 2.2 Représentations symboliques 2.2.1 Transformée de Laplace d'un signal à temps continu 2.2.2 Propriétés de la transformée de Laplace 2.2.3 Transformée enZ d'un signal à temps discret 2.2.4 Propriétés de la transfonnée en Z 2.2.5 Spectres symboliques EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS CHAPITRE 3 • ÉCHANTILLONNAGE ET MODULATION D'UN SIGNAL DÉTERMINISTE 3.1 Signal échantillonné et signal numérique 3.1.1 Condition de Shannon-Nyquist 3.1.2 Formule d'échantillonnage 3.1.3 Filtre antirepliement 47 47 50 51 53 54 56 57 61 62 69 69 69 70 72 www.biblio-scientifique.net IV 3.2 3.1.4 Quantification d'un signal : numérisation 3.1.5 Chaîne d'acquisition d'un signal Modulation d'un signal 3.2.1 Modulation d'amplitude (AM) 3.2.2 Modulation de fréquence (FM) 3.2.3 Comparaison des modulations AM et FM Table des matières 73 74 75 77 81 82 EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS 84 CHAPITRE 4 • BASES PROBABILISTES POUR LA REPRÉSENTATION D'UN SIGNAL ALÉATOIRE 97 4.1 Variable aléatoire 4.1.1 Espace probabilisé et loi de probabilité 4.1.2 Statistique à une dimension 4.1.3 .... Loide. probabilité.d:une .. variable.aléatoire --- 4.1.4 Fonction de répartition et densité de probabilité 4.1.5 Fonction d'une variable aléatoire 4.1.6 Espérance mathématique, variance et écart type 4.1. 7 Fonctions caractéristiques, moments, cumulants 4.1.8 Fonction génératrice 4.1.9 Lois de probabilités classiques 4.2 Couple aléatoire 4.2.1 Statistiques à 2 dimensions 4.2.2 Fréquences partielles, marginales et conditionnelles 4.2.3 Loi conjointe, loi marginale et loi conditionnelle 4.2.4 Variables aléatoires indépendantes 4.2.5 Fonction de deux variables aléatoires 4.2.6 Covariance et coefficient de corrélation 4.2.7 Fonction caractéristique d'un couple aléatoire 4.2.8 Espérance et variance conditionnelles 4.2.9 Espérance conditionnelle et projection 4.3 Vecteur aléatoire 4.3.1 Passage d'un couple à un vecteur aléatoire 4.3.2 Fonction de plusieurs variables aléatoires 4.3.3 Indépendance statistique et orthogonalité 4.3.4 Vecteur gaussien réel, représentation complexe 4.4 Suites de variables aléatoires 4.4.1 Convergences d'une suite de variables aléatoires 4.4.2 Loi des grands nombres 4.4.3 Théorèmes de la limité centrée 4.4.4 Approximations des lois de probabilité classiques 4.4.5 Approximations des moments d'une variable aléatoire EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS 97 97 105 106 109 110 Ill 114 116 117 121 121 122 122 127 127 130 132 132 134 136 136 137 138 140 143 143 146 147 148 148 150 www.biblio-scientifique.net Table des matières CHAPITRE 5 • REPRÉSENTATIONS D'UN SIGNAL ALÉATOIRE 5.1 Représentation temporelle 5.1.1 Signal à temps discret et signal à temps continu 5.1.2 Moyenne et covariance d'un signal 5.2 Principales classes de signaux 5.2.1 Signal stationnaire et spectre de puissance 5.2.2 Signal gaussien 5.2.3 Processus de Poisson 5.2.4 Bruit blanc théorique 5.2.5 Signal continu et signal différentiable 5.2.6 Signal ergodique 5.2.7 Signal markovien 5.3 Représentation spectrale 5.3.1 Signal harmonisable 5.3.2 Signal à covariance stationnaire et spectre 5.3.3 Propriété du périodogramme et applications 5.3.4 Pseudo-spectre d'un signal non stationnaire 5.4 Modélisations classiques d'un signal 5.4.1 Les bruits de fond dans les circuits électriques: bruits blancs 5.4.2 Les modèles ARMA (p,q) 5.4.3 Estimation linéaire d'un signal 5.4.4 Estimation des paramètres d'un modèle EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS CHAPITRE 6 • REPRÉSENTATIONS, RÉALISATIONS ET SYNTHÈSES D'UN FILTRE 6.1 Représentation externe et fonction de transfert 6.1.1 Représentations en série et en parallèle 6.1.2 Causalité, stabilité, phase minimale, phase linéaire Représentation interne et équations d'état 6.2.1 Commandabilité et observabilité d'un filtre 6.2.2 Forme compagnon et fonction de transfert Réalisations et synthèse d'un filtre numérique 6.3.1 Passage d'un filtre analogique à un filtre numérique 6.3.2 Filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) 6.3.3 Filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII) 6.3.4 Synthèse à partir d'un gabarit donné 6.3.5 Diagramme asymptotique de Bode EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS BIBLIOGRAPHIE INDEX v 167 167 167 171 174 174 180 181 184 186 186 188 190 190 194 197 201 204 205 207 210 211 215 231 231 231 232 239 241 244 245 245 247 247 249 252 254 262 263 www.biblio-scientifique.net À Sylvie Marcos et 1zos deux ellfams : Yallis et Rayall www.biblio-scientifique.net Chapitre 1 Représentations temporelles et fréquentielles d'un signal déterministe 1.1 REPRÉSENTATIONS TEMPORELLES Dans ce chapitre, nous allons donner les différentes représentations linéaires des signaux déterministes et des systèmes linéaires. 1.1.1 Différents types de signaux Nous appellerons signal toute grandeur physique susceptible de contenir de l'infor- mation. La représentation temporelle d'un signal est définie par une fonction x(t), réelle ou complexe, de la variable réelle temps t qui doit approcher<< au mieux »les informations contenues dans le signal. La dénomination fonction est prise au sens le plus général du terme, i.e., x(t) peut être une suite discrète, une fonction de la variable continue ou une distribution. Cette fonction peut être une fonction au sens classique et dans ce cas, on dira qu'elle représente un signal déterministe. Elle peut aussi être une << fonction aléatoire >> et dans ce cas elle représente un signal dit aléa- toire ou stochastique. Signalons que tout signal physique est forcément perturbé par un bruit plus ou moins important (bruit de mesure, influence des appareils utilisés etc ... ). Un signal physique est donc un signal aléatoire. La figure 1.1 montre l'effet du bruit : signal non bruité (réalisation 1), signal bruité (réalisations 2 et 3). www.biblio-scientifique.net 2 1 • Représentations temporelles et fréquentielles d'un signal déterministe Réalisation 1 2 .-------=-----, Réalisation 2 Réalisation 3 4,---------, 1.5 3 0.5 0 \! \! 0 0.5 2 2 1.5 3 3 100 200 · 3·ir'==c;-;;;;===-~,,--4 o';-c===-:-1;0;:oo:;------;;;!2oo 00 Figure 1.1 Trois réalisations d'un signal montrant l'effet du bruit. Le signal peut aussi être représenté par une relation de récurrence entre les valeurs prises par le signal à des instants différents. La figure 1.2 donne une illustration d'un tel signal. Un signal x(t) est dit causal s'il vérifie x(t) = 0 pour t < ta où ta est un instant fixé (en général ta = 0). Un signal qui vérifie x(t) = 0 pour t > ta est dit anticausal. D'après le principe suivant: l'effet ne peut précéder la cause, tout signal physique est causal. Dans ce chapitre, nous allons exposer les principales représentations des signaux déterministes en distingant les trois types de signaux suivants. Signal (à temps) continu C'est un signal modélisable, la plupart du temps, par une fonction x(t) continue par intervalles au sens mathématique du terme, ou par une distribution. Signal (à temps) discret C'est un signal dont un modèle peut être une fonction définie par l'ensemble des valeurs x,. qu'elle prend sur un ensemble dénombrable to,t1, ... ,t,., ... de valeurs de la variable (la différence ti+l- t; étant en général constante). Signal numérique C'est un uploads/Litterature/ theorie-et-traitement-du-signal-tome-1-representation-des-signaux-et-des-systemes-cours-et-exercices-corriges-pdf.pdf