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Corrige 6 3 EPFL Algèbre linéaire ère année - Corrigé de la série Correction exercice On montre par les raisonnements habituels que x x et x forment une famille linéairement indépendante et génératrice de R On a x x x x Correction exercice Soit E l ? espa

EPFL Algèbre linéaire ère année - Corrigé de la série Correction exercice On montre par les raisonnements habituels que x x et x forment une famille linéairement indépendante et génératrice de R On a x x x x Correction exercice Soit E l ? espace vectoriel dé ?ni dans l ? énoncé Un élément de E s ? écrit sous la forme x y ??x ?? y x ?? y ?? pour x et y dans R On en déduit que ?? et ?? forment une famille génératrice de E On véri ?e facilement que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants Correction exercice On véri ?e que la famille v v est linéairemement indépendante C ? est donc une base de G On véri ?e que la famille v v v est linéairemement indépendante faites le C ? est donc une base de F Pour F G on montre que v v v v est une base En étudiant les combinaisons linéaires de la famille v v v v v on constate que v ?? v ??v Ou bien on part de la famille génératrice v v v v v de F G et on utilise le processus utilisé dans la preuve du Théorème du ballon donnée dans le cours pour extraire une base de cette famille On véri ?e que la famille v est une base de l ? espace F ?? G Correction exercice Montrons que E est un sous-espace vectoriel de P F ?? Le polynôme nul est dans E ?? Soient P et Q deux éléments de E P Q P Q D ? o? P Q ?? E ?? Pour ? ?? F on montre que ?P ?? E On montre de même que E est un sous-espace vectoriel de P F On rappelle que la base canonique de P F est la famille X X X X X On laisse le lecteur véri ?er qu ? une base de E est donnée par X X X X X Un vecteur de E s ? écrit sous la forme X a a X a X a X ce qui donne après développement a X a X X a X X a X X On en déduit que la famille X X X X X X X est une famille génératrice de E On laisse le soin au lecteur de véri ?er qu ? il s ? agit d ? une famille linéairement indépendante de E En ?n une base de l ? espace vectoriel E ?? E est donnée par la famille X X X X X X car un vecteur de cet espace s ? écrit sous la forme X a X a X a X CCorrection exercice Après avoir constaté plus ou moins rapidement qu ? on a la relation de dépendance linéaire suivante f f f on montre l ? indépendance linéaire de la famille f f f Soient ? et ? des scalaires de R tels que f ?f ?f On