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Corrige 7 1 EPFL Algèbre linéaire ère année - Corrigé de la série La plupart des exercices de cette série utilisent la relation fondamentale suivante pour U et V deux sous-espaces vectoriels d ? un espace vectoriel E de dimension ?nie on a dim U V dim U d

EPFL Algèbre linéaire ère année - Corrigé de la série La plupart des exercices de cette série utilisent la relation fondamentale suivante pour U et V deux sous-espaces vectoriels d ? un espace vectoriel E de dimension ?nie on a dim U V dim U dim V ?? dim U ?? V ? Correction exercice En utilisant les données de l ? énoncé et la relation ? on obtient dim U ?? V D ? o? U ?? V Correction exercice Comme C est un espace en somme directe avec A ?? B dans B on sait que C est un sous espace de B tel que C ? A ?? B B On déduit de cette somme directe que C ?? A ?? B Comme C est un sous- espace de B on a B ?? C C d ? o? C ?? A dont on déduit que A C A ? C En utilisant ? on obtient les trois égalités suivantes dim A B dim A dim B ?? dim A ?? B dim A ? C dim A dim C dim B dim C dim A ?? B dont on déduit facilement que dim A B dim A ? C Comme A ? C ? A B on en déduit l ? égalité des deux espaces vectoriels Correction exercice Soit f fn une base de F La famille f fn forme une famille libre de E par consé- quent d ? après le théorème du ballon il existe e ek dans E tels que B f fn e ek forme une base de E Soit G Span e ek on montre que F ? G E En e ?et on a F G E et si x ?? F ?? G x n i ?i ? k j j ej On a alors n i ?i ? ?? k j j ej et comme B est une base de E on en déduit que ?i j Soit G Span e f e ek Montrons que F ? G E Pour x ?? E comme B est une base de E on a l ? existence de scalaires ?i et j tels que x n i ?i ? k j j ej Or on peut écrire x sous la forme x ? ?? f n i ?i ? e f k j j ej d ? o? x ?? F G Soit x ?? F ?? G x n i ?i ? e f k j j ej On a alors ? f n i ?i ? ? ?? e f ?? k j j ej d ? o? ? ?? f n i ?i ? ?? e ?? k j j ej et comme B est une base de E on en déduit que ?i j Il reste à véri ?er que G G On a e f ?? G et e f ?? G car sinon f e f ??e ?? G ce qui est une