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Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude

Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Modélisation mathématique et numérique de mouvements de foule Juliette Venel Groupe de Travail “Applications des Mathématiques” ENS Cachan Rennes, 14 Janvier 2009 Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Introduction • Situations d’évacuation d’urgence • Gestion directe des contacts • Déterminer les zones de fortes pressions Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Plan 1 Présentation du modèle 2 Etude théorique Réécriture du modèle Problème bien posé 3 Etude numérique Présentation du schéma Résultat de convergence 4 Programmation 5 Résultats numériques 6 Perspectives Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Plan 1 Présentation du modèle 2 Etude théorique Réécriture du modèle Problème bien posé 3 Etude numérique Présentation du schéma Résultat de convergence 4 Programmation 5 Résultats numériques 6 Perspectives Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Deux principes Vitesse souhaitée Vitesse réelle Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Notations qi qj eij(q) Dij(q) ri rj q = (q1, q2, .., qN) ∈R2N eij(q) = qj −qi |qj −qi| Ensemble des conﬁgurations admissibles Q0 = n q ∈R2N, ∀i < j, Dij(q) = |qi −qj| −ri −rj ≥0 o Gij(q) = ∇Dij(q) = (0 ... 0, −eij(q) , 0 ... 0, eij(q) , 0 ... 0) i j Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Vitesse souhaitée Notation : U(q) = (U1(q), U2(q), ..., UN(q)) Description du comportement piétonnier Prise en compte de la géométrie des lieux • Ui construit à la main pour donner des directions privilégiées • Ui dirigé par le plus court chemin vers la sortie, évitant les obstacles Prise en compte de la présence d’autres personnes • ajout de stratégies Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Vitesse réelle Pour gérer les contacts, on déﬁnit le Cône des vitesses admissibles Cq = n v ∈R2N, ∀i < j Dij(q) = 0 ⇒ Gij(q) · v ≥0 o , où Gij(q) = ∇Dij(q). En notant u la vitesse réelle des N personnes, le modèle s’écrit      q = q0 + Z u, u = PCqU. Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Plan 1 Présentation du modèle 2 Etude théorique Réécriture du modèle Problème bien posé 3 Etude numérique Présentation du schéma Résultat de convergence 4 Programmation 5 Résultats numériques 6 Perspectives Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Cône Nq On introduit Nq le cône polaire de Cq : Déﬁnition Nq = C◦ q = {w , (w, v) ≤0 ∀v ∈Cq} . D12 < 0 D13 < 0 D34 < 0 ¯ q q N¯ q C¯ q Nq Cq Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Inclusion différentielle Nq est appelé cône normal sortant et s’écrit comme suit : Caractérisation Nq = n − X λijGij(q) , λij ≥0 , Dij(q) > 0 = ⇒λij = 0 o . En utilisant la propriété suivante (J.-J. Moreau 62) PCq + PNq = Id, le problème prend la forme d’une inclusion différentielle du premier ordre. Modèle    dq dt + Nq ∋U(q), q(0) = q0. Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Cas d’un mouvement rectiligne Q0 = {q ∈RN , qi+1 −qi ≥ri+1 + ri} est un convexe fermé. Comme pour tout q, Nq = ∂IQ0(q), on en déduit que N est un opérateur maximal monotone. Théorème Soit U lipschitzienne, alors pour tout T > 0, pour tout q0 ∈ Q0, il existe une unique fonction q ∈W 1,1 [0, T], RN solu- tion de    dq dt + Nq ∋U (q) , q (0) = q0. (voir par exemple H. Brezis 73) Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Généralisation ? ⋄défaut de convexité de Q0 ¯ q2 ¯ q1 ˜ q2 ˜ q1 q2 q1 conﬁguration q conﬁguration e q conﬁguration ¯ q = q + e q 2 ⋄absence de monotonie de N Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Notion de prox-régularité η Ensemble prox-régulier Soit S un ensemble fermé, S est η-prox-régulier si pour tout point ˜ q à distance d < η de S, la projection de ˜ q sur S est bien déﬁnie. H. Federer 59, A. Canino 88 F. Clarke, R. Stern, P . Wolenski 95 R. Poliquin, R. Rockafellar, L. Thibault 00 Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Prox-régularité de Q0 Proposition Q0 est η-prox-régulier avec η = η(N, ri). Idée de la preuve : Cas d’une seule contrainte : Qij = {q ∈R2N , Dij(q) = |qj −qi| −(rj + ri) ≥0} est ηij-prox-régulier avec ηij = ri + rj √ 2 . Généralisation à plusieurs contraintes : Q0 = T i<j Qij. n1 n2 Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Problème bien posé Théorème On suppose U lipschitzienne et bornée. Alors quel que soit q0 dans Q0, il existe une unique fonction q absolument continue vériﬁant    dq dt + Nq ∋U(q) p.p. sur [0, T], q(0) = q0. Application des résultats de J.-F. Edmond et L. Thibault sur les processus de raﬂe par des ensembles uniformément prox-réguliers (2006). On vériﬁe que pour tout q, Nq = N(Q0, q), où N(Q0, q) = n v ∈R2N , ∃α > 0 , q ∈PQ0(q + αv) o est appelé cône proximal normal de Q0 au point q. (F. Clarke, R. Stern, P . Wolenski 95) Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Plan 1 Présentation du modèle 2 Etude théorique Réécriture du modèle Problème bien posé 3 Etude numérique Présentation du schéma Résultat de convergence 4 Programmation 5 Résultats numériques 6 Perspectives Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Schéma numérique Initialisation : q0 = q0 Boucle en temps : qn connu un = PCh(qn)(U(qn)) qn+1 = qn + h un où Ch(qn) = n v ∈R2N, ∀i < j, Dij(qn) + h Gij(qn) · v ≥0 o . Adaptation d’un schéma développé pour les écoulements granulaires (B. Maury). Si l’on interprète cet algorithme en termes de position, on a qn+1 = PK(qn)(qn + h U(qn)) où K(qn) = n q ∈R2N, ∀i < j, Dij(qn) + Gij(qn) · (q −qn) ≥0 o . Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Projections théorique et numérique qn qn + h U(qn) qn + h U(qn) qn+1 qn+1 ˜ qn+1 ˜ qn+1 Q0 K(qn) Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Convergence On note qh la fonction continue afﬁne par morceaux associée au schéma numérique. Théorème On suppose U lipschitzienne et bornée. Alors qh converge uniformément sur [0, T] vers la fonction q vériﬁant    dq dt + Nq ∋U(q) p.p. sur [0, T], q(0) = q0. Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Problèmes continu et discret Le problème discret associé à l’algorithme précédent est un + N(K(qn), qn+1) ∋U(qn). Comme Nq = N(Q0, q), le problème continu s’écrit dq dt + N(Q0, q) ∋U(q). Proposition N(Q0, q) = N(K(q), q). Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Les deux étapes de la preuve Extraction : il existe une sous-suite de la suite (qh) qui converge uniformément vers une fonction absolument continue q sur [0, T]. Vériﬁcation de l’inclusion différentielle : dq dt + N(K(q), q) ∋U(q) p.p. sur [0, T]. Proposition Soient q ∈Q0 , (qn)n∈N ∈(Q0)N vériﬁant qn − − − − → n→+∞q, on déﬁnit pour tout ˜ q ∈R2N, p = PK(q)(˜ q) et pn = PK(qn)(˜ q). Alors il existe ν > 0 tel que pour tout ˜ q ∈B(q, ν), pn − − − − → n→+∞p. Mouvements de Foule J. Venel Modèle Etude théorique Réécriture Résolution Etude numérique Présentation Convergence Programmation Résultats numériques Perspectives Convergence uploads/Litterature/ transparents-juliette-venel.pdf