Modèles à retards distribués et modèles ARDL Christophe Hurlin April 26, 2019

Modèles à retards distribués et modèles ARDL Christophe Hurlin April 26, 2019 Abstract Cette note propose une brève présentation des modèles à retards distribués en général et des modèles de type Autoregressive Distributed-lagged model (ou ARDL) en particulier. L’objectif est de comprendre la spéci…cité et les avantages des modèles ARDL en les remet- tant en perspective par rapport aux modèles dynamiques à retards distribués. Dans une première section, nous présentons les modèles à retards distribués non contraints. La sec- onde section est consacrée aux modèles restreints (linéaire, géométrique, etc.) et notamment aux modèles polynomiaux d’Almon. La troisième section présente les modèles avec variable dépendante retardée : modèles de Koyck, AR-X, et ARDL. La dernière section décrit les procédures d’estimation de ces di¤érents modèles sous les logiciels R et SAS. Mots clés : Modèles AutoRegressive Distributed-Lagged, ARDL, Modèles à retards dis- tribués, Spéci…cation, Estimation JEL classi…cation: C01, C22, C53. Université d’Orléans (LEO, FRE CNRS 2014). Cette note a été rédigée dans le cadre de la préparation des étudiants du master ESA de l’Université d’Orléans au challenge DRIM game (Deloitte - RCI Bank) 2018. 1 1 Introduction Les modèles à retards distribués (ou à retards échelonnés) sont des modèles dynamiques de séries temporelles. Ils ont pour particularité que la dynamique de la variable dépendante y soit expliquée par des valeurs contemporaines et retardées d’une ou plusieurs variables explicatives x. Le principal avantage de ces modèles est qu’ils autorisent une dynamique plus riche (com- parativement à un modèle linéaire simple sans retard sur les variables explicatives) des e¤ets marginaux des variables x sur la variable dépendante. On peut ainsi distinguer la notion d’e¤ets marginaux dynamiques de court terme, qui représentent l’impact instantané de la variable con- temporaine xt (ou retardée xts) sur yt, de l’e¤et cumulatif de long terme de x sur la variable dépendante y. De façon générale on oppose les modèles à retards distribués …nis et in…nis, suivant que l’on considère un nombre …ni ou in…ni de valeurs retardées pour la variable explicative. Bien évidemment, seuls les modèles à retards …nis (…nite distributed lag models) peuvent être estimés en pratique. Toutefois, même lorsque l’on considère un nombre …ni et relativement peu impor- tant de retards, l’estimation de ce type de modèle par MCO ou MCG peut poser problème. En e¤et, il est fréquent que les valeurs retardées xt; xt1; : : : ; xtq soient fortement corrélées, induisant un problème de multi-colinéarité dans le modèle de régression. Les estimations des coe¢cients par MCO sont alors peu …ables et peuvent notamment prendre des valeurs aber- rantes. De plus, l’estimation de ces modèles requiert des échantillons de taille importante étant donné le potentiellement grand nombre de paramètres à estimer suivant le nombre de retards q considérés pour la variable exogène. A…n de palier à ces problèmes, deux types de solutions ont été considérés dans la littérature. La première solution a consisté à imposer des restrictions sur les coe¢cients associées aux valeurs retardées xt; xt1; : : : ; xtq de la variable explicative (Almon, 1965; Smith and Giles, 1976; Madinier et Mouillart, 1983). On obtient alors des modèles à retards distribués contraints (restricted distributed lag models). Ces restrictions peuvent être de formes très di¤érentes, mais elles ont toutes pour objectif (i) de limiter le nombre de paramètres à estimer, (ii) de limiter les potentiels problèmes de quasi-colinéarité, et (iii) de conduire à des pro…ls temporels d’e¤ets marginaux pouvant être justi…és sur le économique. Concernant ce dernier point, le principal a priori que l’on peut avoir vis-à-vis des e¤ets marginaux est que l’e¤et instantané de la variable xts sur le niveau de yt diminue avec le temps, mais pas nécessairement de façon uniforme. Plusieurs modèles restreints ont été proposés a…n de satisfaire ces trois objectifs. On peut citer le modèle avec décroissance linéaire des paramètres retard et le modèle avec distribution géométrique des retards (geometric distributed lag model). Mais le modèle le plus utilisé est sans aucun doute le modèle à retards polynomiaux (polynomial distributed lag model) ou modèle d’Almon (1965). L’idée consiste à postuler que le paramètre associé à la variable retardée xts est une fonction (inconnue) du décalage s, et que cette fonction peut être approximée par un polynôme d’ordre p; avec généralement p << q. Il su¢t alors d’estimer les paramètres de ce polynôme pour retrouver les coe¢cients associés aux variables retardées xts. On peut ainsi réduire la dimension du problème et limiter les risques de quasi-colinéarité. La seconde solution consiste à introduire des valeurs retardées de la variable dépendante. On aboutit ainsi à une représentation de type AR(p) sur yt, augmentée des valeurs contemporaines et passées d’une variable exogènes xt. L’exemple le plus simple est le modèle de Koyck (1954). Ce modèle linéaire très simple explique le niveau de yt par une constante, la valeur retardée yt1 et le niveau contemporain d’une variable explicative xt. Notons que dans le modèle de 2 Koyck, aucun retard n’est introduit sur la variable explicative xt, ce qui exclut tout problème de colinéarité. Quel est l’avantage de ce modèle ? En inversant le polynôme autorégressif associé à yt 1, on peut montrer que cette représentation est équivalente à un modèle à retards distribués de dimension in…nie, avec une décroissance géométrique des poids. Ainsi, le modèle de Koyck est équivalent à une représentation dans laquelle la variable yt est expliquée par les variables xt; xt1; xt2; xt3; : : : ; x1, et pour autant l’estimation de ce modèle (qui suppose simplement de régresser yt sur yt1 et xt) ne pose pas de problème lié à la corrélation entre les valeurs retardées. Dans la terminologie de Box et Jenkins (1976), le modèle de Koyck s’apparente à un modèle de type AR(1)-X, où la lettre X indique la présence de la variable exogène xt dans l’équation d’espérance conditionnelle de yt. Bien évidemment, ce modèle peut être étendu à une représen- tation de type AR(p)-X, incluant non plus une seule valeur retardée yt1, mais p valeurs yt1; yt2; : : : ; ytp. Toutefois, le modèle de Koyck et son extension présentent un important défaut lorsque l’on considère plus d’une variable exogène. Dans ce cas, la décroissance des coe¢cients retards (e¤ets marginaux de court terme) avec le décalage temporel est identique pour toutes les variables explicatives. Par exemple, les impacts dynamiques sur yt de deux variables ex- plicatives x1;ts et x2;ts sont supposés évoluer de la même façon avec le décalage s. Une telle hypothèse est problématique car elle ne correspond généralement à aucune théorie, ni à au- cune observation empirique. Le modèle ARDL (autoregressive distributed lag model) permet de répondre à cette critique. Formellement, ce modèle permet d’introduire à la fois des retards sur la variable dépendante et sur la variable exogène. Ce faisant l’e¤et marginal de la variable xt sur yt est déterminé par le ratio de deux polynômes retard (d’où l’appellation alternative de rational lag model), le premier étant spéci…que à la variable xt; le second à celui de la variable dépendante. Dès lors, deux variables exogènes, associées à deux polynômes retards, n’ont pas nécessairement le même impact dynamique sur la variable endogène. Tous ces modèles peuvent être estimés assez facilement grâce à di¤érentes procédures, que ce soit sous les logiciels SAS, Eviews, Matlab, et R. Dans cette note nous donnerons les principales fonctions pour SAS et R. Le plan de cette note est structuré de la façon suivante. Dans une première section, nous présenterons les modèles à retards distribués non contraints. Dans une seconde section, nous présenterons les modèles restreints (linéaire, géométrique, etc.) et notamment les modèles poly- nomiaux d’Almon. La troisième section sera consacrée aux modèles avec variable dépendante retardée : modèles de Koyck, AR-X, et ARDL. La dernière section présentera les procédures d’estimation de ces di¤érents modèles sous R et SAS. 2 Modèles à retards distribués Comme nous l’avons dit précédemment, les modèles à retards distribués (ou à retards échelon- nés) sont des modèles dynamiques dans lesquels la variable endogène yt est expliquée par des valeurs contemporaines et retardées d’une ou plusieurs variables explicatives xt. Par souci de simpli…cation, dans cette note nous ne traiterons que le cas où xt est une variable scalaire, i.e. le cas avec une seule variable explicative. 1Cette inversion est parfois appelée "transformation de Koyck", comme par exemple dans la documentation du package dLagM de R (Demirhan, 2018) 3 De…nition 1 Un modèle à retards échelonnés linéaire s’écrit sous la forme yt = + (L) xt + "t = + q X s=0 sxts + "t (1) où f"t; t 2 Zg est un bruit blanc faible, L désigne l’opérateur retard, (L) un polynôme retard d’ordre q avec (L) = Pq s=0 sLs et q 6= 0. Un modèle à retards distribués ressemble ainsi à un modèle ARMA à la di¤érence près que les retards portent sur la variable explicative x et non sur la variable expliquée y ou sur l’innovation "t. Tout comme pour un modèle de type ARMA, les paramètres s sont appelés paramètres ou coe¢cients retard et (L) est quali…é de polynôme retard. uploads/Litterature/ ardl-models.pdf

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littérature modèle retards modèles variable paramètres
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