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Corrige td3 ta2008 1 Master Math ?ematiques Corrig ?e de la feuille de TD Cat ?egories et Foncteurs Gr ?egory Ginot Avant de commencer le corrig ?e proprement dit on rappelle que deux foncteurs G C ? D et D D ? C sont adjoints si et seulement si on a un i

Master Math ?ematiques Corrig ?e de la feuille de TD Cat ?egories et Foncteurs Gr ?egory Ginot Avant de commencer le corrig ?e proprement dit on rappelle que deux foncteurs G C ? D et D D ? C sont adjoints si et seulement si on a un isomorphisme de bifoncteur HomD G n Ag ?? HomC D Ad ouAg et Ad sont inverses l ? un de l ? autre Ceci est ?equivalent a dire que pour tout f ?? HomC X X et g ?? HomD Y Y on a un diagramme commutatif dont les eches horizontales sont des isomorphismes F HomD G X Y n g ? HomD GO X Y n G f ? HomD G X Y n Ag X Y ?? Ad X Y Ag X Y ?? Ad X Y Ag X Y ?? Ad X Y HomC X D Y D g ? F HomC XO D Y f ? HomC X D Y Adj Notons que pour g Y ? Z l ? application g ? HomD X Y ? HomD X Z est simplement la composition par g c ? est adire l ? application f ? g f La partie sup ?erieure du diagramme traduit donc le fait que Ag X et Ad X est un morphisme de foncteur pour la deuxieme variable alors que la partie basse traduit le fait que Ag Y et Ad Y est un morphisme de foncteur pour la premi ere variable Puisque Ag et Ad sont inverse l ? un de l ? autre on a Ag X Y Ad X Y ?? pour tous objets X Y Exercice Soit C une cat ?egorie On note IdC C ? C le foncteur identit ?e et End IdC l ? ensemble des endormorphismes de foncteurs de IdC Montrer que la loi de composition des morphismes de foncteurs se restreint a ? End IdC et est commutative Solution Par d ?e ?nition d ? un morphisme de foncteur aussi appel ?e transformation naturelle on a qu ? un ?el ?ement h de End IdC est la donn ?ee d ? une famille de eches hA A ? A dans la cat ?egorie C pour tout objet A ?? C v ?eri ?ant que quel que soit A ?f B le diagramme suivant soit commutatif A f B hA hB F A f F B Rappelons qu ? un morphisme de foncteur la compos ?ee de deux endormorphismes de foncteurs h g est obtenue par composition des eches hA et gA c ? esta dire g h A gA hA En prenant f gA dans le digramme pr ?ec ?edent on obtient imm ?ediatement que gA hA hA gA pour tout objet A ce qui conclut l ? exercice CExercice Soit f A ? B un morphisme d ? anneaux commutatifs unitaires Montrer que a b ? f a b munit B d ? une structure de A-module Montrer que f induit un foncteur naturel Rf