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1 Université Claude Bernard Lyon 1 Licence STS Année 2010-2011 Math I Analyse I

1 Université Claude Bernard Lyon 1 Licence STS Année 2010-2011 Math I Analyse Interrogation écrite, le 21 janvier 2011, de 8heures à 10 heures Question de cours Enoncer le théorème des accroissements finis (Théorème de Lagrange). Correction Soit une fonction [ ] , avec . On suppose que est continue sur [ ] et dérivable sur ] [. Alors il existe ] [ tel que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice Trouver l’unique fonction dérivable telle que ( ) et telle que ( ) ( ) Pour tout . Correction exercice Il faut d’abord résoudre l’équation homogène ( ) ( ) ( ) ( ) | ( )| La solution générale de l’équation homogène est : ( ) Ensuite on cherche une solution particulière de l’équation avec second membre de la forme ( ) ( ) On dérive ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ce que l’on remplace dans ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Comme prévu, les termes en ( ) s’éliminent ( ) Puis on simplifie par ( ) Comme on cherche une solution particulière ( ) Ce que l’on remplace dans ( ) 2 La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la solution générale de l’équation homogène et d’une solution particulière : ( ) ( ) Il reste à déterminer la constante à l’aide de la condition initiale ( ) ( ) ( ) La solution recherchée est ( ) Problème Soit un entier naturel supérieur ou égal à . On définit la fonction [ [ par ( ) En particulier on a ( ) , ( ) et ( ) . 1. Etudier les variations de sur [ ]. 2. (Question indépendante de la suite de l’exercice) Montrer que est une bijection de [ ] dans [ ( ) ( )] et montrer que [ ( ) ( )] [ ] est dérivable. 3. Démontrer qu’il existe un unique réel ] [ tel que ( ) . 4. Calculer et . 5. Démontrer que, pour tout et pour tout ] [, on a ( ) ( ) 6. En déduire que ( ) et que la suite ( ) est strictement décroissante. 7. Montrer que ( ) est convergente. 8. Notons la limite de la suite ( ) . Montrer que . Dans la suite du problème on va calculer la valeur de la limite . On définit la fonction [ [ par : ( ) 9. Montrer que ( ) 10. Montrer que ( ) ( ) et en déduire que, pour tout [ [, on a : ( ) ( ) ( ) 11. Sachant que , pour tout , calculer ( ) ( ) ( ) 12. Démontrer que est racine de l’équation . 13. Calculer la valeur de . Correction du problème 1. est définie, continue et dérivable sur [ ], pour tout ( ) ( ) Donc est strictement croissante sur [ ] 2. est strictement croissante donc elle est injective, son ensemble d’arrivée est [ ( ) ( )] donc elle est surjective, par conséquent est une bijection de [ ] dans [ ( ) ( )]. Comme ( ) est strictement positif, la bijection réciproque de est dérivable. 3. ( ) et ( ) ( ) En fait peu importe la valeur de ( ), l’essentiel est de s’apercevoir que ( ) , comme est une bijection de ] [ dans ] ( ) ( )[ et que ] ( ) ( )[, admet un unique antécédant ] [ c’est-à-dire tel que : ( ) . 3 4. ( ) ( ) Admet comme racine et donc 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donc [ ] ( ) ( ) 6. D’après 5. Comme ] [ : ( ) ( ) On en déduit que ( ) ( ) Car ( ) Pour tout , est strictement croissante donc, pour tout : On en déduit que ( ) est strictement décroissante. 7. ( ) est strictement décroissante et minorée par , ( ) converge. 8. La suite ( ) est décroissante donc pour tout , , on en déduit que . D’autre part donc . 9. Pour tout , ce qui est le cas puisque [ [. ( ) 10. Pour tout [ [ ( ) ( ) ( ) On en déduit que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11. Il s’agit, à chaque fois, de forme indéterminée, mais c’est la fonction puissance qui l’emporte sur (et . On rappelle aussi que entraine que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12. Ce qui montre que : vérifie 13. à pour discriminant ( √ ) Les solutions sont √ √ 4 Et √ √ Comme , , on vérifie facilement que , donc √ uploads/s3/ controle-continu-final-automne-2010-math-i-analyse-correction.pdf