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Cours 5 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Remarque Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I L'univers est l'intervalle I C'est un univers in ?ni On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et

LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Remarque Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I L'univers est l'intervalle I C'est un univers in ?ni On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et qui s'appliquaient à un univers ?ni En e ?et puisqu'il y a une in ?nité de nombres dans l'intervalle I la probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des probabilités d'éventualités ne sont plus applicables Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités d'intervalles Exercice voir réponses et correction On considère l'intervalle I et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un nombre réel dans cet intervalle On coupe l'intervalle I en intervalles de même amplitude On considère l'univers que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit la probabilité uniforme sur On a et chaque éventualité de a une probabilité de On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Justi ?er que la probabilité de l'événement X est inférieur ou égal à ? ? notée p X ? ? est égale à On coupe l'intervalle I en intervalles de même amplitude ? ? On considère l'univers ? et la probabilité uniforme sur On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Déterminer p X ? ? Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en intervalles de même amplitude puis en intervalles de même amplitude On ne demande pas de justi ?cation Si on choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans l'intervalle I conjecturer la valeur de p X ? ? Conjecturer les valeurs de p X ? p X p X ? p u X ? v avec u ?? I v ?? I et u v On considère la fonction f dé ?nie sur l'intervalle I par f x a Tracer la courbe C représentant la fonction f b Déterminer l'aire A de la partie du plan comprise entre l'axe Ox la courbe C et les droites d'équations x et x c Déterminer l'aire A de la partie du plan comprise entre l'axe Ox la courbe C et les droites d'équations x u et x v o? u et v sont deux réels de I tels que u ? v Exercice voir réponses et correction Créer un algorithme permettant d'obtenir de façon aléatoire un nombre réel X compris entre et Avec une boucle répétant fois l'action précédente évaluer la fréquence avec laquelle on a X ? ? Modi ?er l'algorithme de façon à évaluer en fonction de deux réels u et v compris entre et la fréquence avec laquelle on a u X ? v Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les résultats obtenus dans l'exercice Remarques Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une in ?nité de points ayant chacun une longueur nulle L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une intégrale Pourtant cette partie du plan est constituée