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Coursmpsi fondements Lycée Louis-Le-Grand Paris Année Cours de mathématiques Partie I ?? Les fondements MPSI Alain TROESCH Version du octobre C CTable des matières Sommes I Manipulation des signes et I Dé ?nition des notations I Règles de manipulation des

Lycée Louis-Le-Grand Paris Année Cours de mathématiques Partie I ?? Les fondements MPSI Alain TROESCH Version du octobre C CTable des matières Sommes I Manipulation des signes et I Dé ?nition des notations I Règles de manipulation des signes et I Changements d ? indice I Sommes télescopiques I Sommes multiples I Rapide introduction à la notion de série II Sommes classiques à conna? tre II Somme des puissances d ? entiers II Sommes géométriques III Coe ?cients binomiaux formule du binôme Fondements logiques I Logique propositionnelle I Construction formelle d ? une formule I Véracité d ? une formule I Équivalences entre formules tautologies I Démonstration formelle II Calcul des prédicats du premier ordre II Construction formelle d ? une formule du calcul des prédicats II Règles concernant les quanti ?cateurs II Valeur de vérité et démonstration III Composition d ? un texte mathématique III Description générale III Comment construire une démonstration IV Quelques types classiques de démonstration IV Le Modus ponens IV La transitivité de l ? implication IV Démonstration par la contraposée IV Cas particulier démonstration par l ? absurde IV Disjonction des cas IV Analyse-Synthèse IV Raisonnement par récurrence simple IV Récurrence d ? ordre k C Table des matières IV Récurrence forte IV Récurrences multiples IV Principe de la descente in ?nie Ensembles applications relations I Ensembles I Dé ?nition intuitive I Opérations sur les ensembles I Unions et intersections in ?nies I Fonction caractéristique I La crise des fondements I Tentatives d ? axiomatisation II L ? ensemble N des entiers naturels II Axiomatique de N hors-programme II Propriétés de N III Applications III Dé ?nitions élémentaires III Image directe image réciproque III Injectivité surjectivité bijectivité III Notion de cardinal Dénombrabilité IV Relations IV Généralités IV Opérations sur les relations IV Dé ?nition de quelques propriétés sur les relations IV Relations d ? équivalence IV Relations d ? ordre Les corps R et C I Le corps Q des rationnels et le corps R des réels I Idée de constuctions possibles de Q et de R I Division euclidienne dans R I De l ? existence de nombres non rationnels I Signe et inégalités dans R et Q I Partie entière partie décimale I Représentation décimale et binaire d ? un réel I Intervalles I Intervalles et topologie I Droite achevée R II Le corps C des nombres complexes II Dé ?nition forme algébrique II Module II Cercle trigonométrique formules de trigonométrie II L ? exponentielle complexe et applications à la trigonométrie II Racines n-ièmes II Cas des racines carrées expression sous forme algébrique II Nombres complexes et géométrie III Ensembles de nombres étendant C III Quaternions III Octonions C Sommes Introduction Le but de ce chapitre introductif est de systématiser l ? usage du signe pour désigner une somme d ? éléments Dans la mesure du possible l ? utilisation de cette notation est préférable à celle utilisant des petits points bien moins rigoureuse Nous supposons connues les notions et notations suivantes ?