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Généralités sur les variables aléatoires Contrôle de gestion Généralités sur le

Généralités sur les variables aléatoires Contrôle de gestion Généralités sur les variables aléatoires Table des matières Définition d'une variable aléatoire 3 Définition d'une variable aléatoire.....................................................4 Généralités..........................................................................................................4 Les variables aléatoires discrètes 5 Les variables aléatoires discrètes.....................................................6 Généralités..........................................................................................................6 Fonction de répartition.........................................................................................8 Variables aléatoires discrètes indépendantes......................................................9 Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète...............................11 Variance d'une variable aléatoire discrète..........................................................12 Les variables aléatoires continues 16 Les variables aléatoires continues..................................................17 Principe..............................................................................................................17 Loi ou densité d'une variable aléatoire continue.................................................17 2 Généralités sur les variables aléatoires Définition d'une variable aléatoire 3 Généralités sur les variables aléatoires Définition d'une variable aléatoire Généralités Principe Une variable aléatoire "X" est une application permettant d'associer un nombre réel à toute éventualité. Ω (Lire oméga) désigne un univers sur lequel une probabilité "p" a été définie => On note X(Ω), l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre X. La variable aléatoire "X" est dite : - Discrète lorsque l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre est dénombrable ; - Continue lorsqu'elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de R. Exemples Exemple 1 On lance deux dés (non pipés et à 6 faces !). A chaque lancé, on associe la somme (S) des résultats obtenus. Donc, S est une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs de S(Ω). Ces valeurs peuvent être : 2, 3, 4,.... 11, 12. Dans cet exemple, S est bien une variable aléatoire discrète (l'ensemble des valeurs que peut prendre S est dénombrable => Il n'y a pas une infinité de possibilités). Exemple 2 On lance plusieurs fois de suite deux dés jusqu'à ce qu'on obtienne un double six. Exemple 3 Après ensachage, on pèse des paquets de farine. A chaque paquet, on associe son poids Y. On a constaté qu'Y (le poids d'un paquet de farine) variait entre 950 g et 1 100 g. => Y est une variable aléatoire continue. En effet, elle peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle => Y(Ω) = [950; 1 100] 4 Généralités sur les variables aléatoires Les variables aléatoires discrètes 5 Généralités sur les variables aléatoires Les variables aléatoires discrètes Généralités Définition • L'application qui, à chaque valeur possible "x", d'une variable aléatoire "X", associe la probabilité p(X = x), est appelée loi de probabilité ou fonction de distribution de la variable aléatoire X. Exemples 1er exemple Une entreprise de locations de voitures, située dans un aéroport, possède trois limousines à louer à la journée (On ne peut donc pas louer une limousine plus d'une fois par jour). 6 Généralités sur les variables aléatoires Conséquence : La loi de probabilité d'une variable aléatoire X, prenant un nombre fini de valeurs, peut être donnée (représentée) par un tableau. 2ème exemple Sur une ligne de bus, 20 % des voyageurs n'ont pas payé le ticket. Chaque matin, un contrôleur vérifie les billets jusqu'à ce qu'il tombe sur un fraudeur. Conséquence : Quand X peut prendre énormément de valeurs, on peut donner la loi de probabilité par une formule. Remarque : Le nombre de billets, qu'un contrôleur peut vérifier, n'est pas infini. Il s'agit donc bien d'une loi discrète et pas continue ! Propriétés 7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Définition Propriétés 1ère propriété 2ème propriété Exemple Réponse • Loi de probabilité de X 8 Généralités sur les variables aléatoires • Fonction de répartition Variables aléatoires discrètes indépendantes Définition 9 Généralités sur les variables aléatoires Exemple Un assureur automobile fait une étude sur ses clients skieurs. Question : Dresser le tableau donnant les probabilités des évènements (X = x et Y = y) que l'on aurait si X et Y étaient indépendants. Réponse 10 Généralités sur les variables aléatoires Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète Définition Propriétés de E(X) Posons en préambule les éléments suivants : => X et Y sont des variables aléatoires, définies sur Ω; => α et β des nombres réels constants (< 0 ou > 0). 11 Généralités sur les variables aléatoires Variance d'une variable aléatoire discrète Définition Écart type d'une variable aléatoire 12 Généralités sur les variables aléatoires Propriétés des variances 13 Généralités sur les variables aléatoires Exemple Réponses • 1ère question - Espérance, variance, et écart type de la variable aléatoire X. Conséquence, nous allons construire un tableau nous permettant d'appliquer ces formules 14 Généralités sur les variables aléatoires • 2ème question - Calculez l'espérance, la variance et l'écart type du bénéfice. Sachant que le bénéfice = 450 X – 375, cela revient à calculer : E(450 X – 375) et V(450 X – 375) Nous allons donc utiliser les spécificités de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète. 15 Généralités sur les variables aléatoires Les variables aléatoires continues 16 Généralités sur les variables aléatoires Les variables aléatoires continues Principe Exemple Reprenons l'exemple des paquets de farine dont le poids en farine est une variable aléatoire "Y" prenant ses valeurs dans l'intervalle [950; 1 100]. • Lorsque l'on prend un paquet au hasard, la probabilité d'obtenir un poids de farine rigoureusement égal à 978,2 g par exemple, est nulle. • En effet, c'est un paquet parmi une infinité, et 1/infini= 0,0000000.... donc 0 ! • => L'événement Y = 978,2 est dit "quasi impossible". • Plus généralement : si X est une variable aléatoire continue => p(X = x) = 0 (Et ce, quel que soit x). Conséquence : On ne peut donc pas définir la loi de probabilité d'une telle variable comme dans le cas discret car il y a une infinité de possibilités. Il faut définir une fonction dite "densité f(x)". Fonction de répartition des variables aléatoires continues Loi ou densité d'une variable aléatoire continue 17 Généralités sur les variables aléatoires Définition Si X est une variable aléatoire continue de fonction de répartition F dérivable, la loi de probabilité de X est définie par la dérivée de F, que nous nommerons "f". => "f" est appelée densité de probabilité de X : f(x) = F'(x) Propriétés 18 Généralités sur les variables aléatoires Contact 19 uploads/Management/ 38-generalites-sur-les-variables-aleatoires.pdf