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MODULE 6 MODULE 6 MODULE 6 MODULE 6 VARIABLE VARIABLE VARIABLE VARIABLE ALÉATOI

MODULE 6 MODULE 6 MODULE 6 MODULE 6 VARIABLE VARIABLE VARIABLE VARIABLE ALÉATOIRE ALÉATOIRE ALÉATOIRE ALÉATOIRE Louis Houde Département de Mathématiques et d’informatique Université du Québec à Trois-Rivières MODULE 6 Variable aléatoire Objectifs et compétences L’objectif de cette section est de donner à l’étudiant les outils nécessaires pour comprendre la notion de variable aléatoire et l’appliquer à des concepts de gestion. Dans un premier temps, la relation entre la fonction de probabilité et la variable aléatoire est examinée puis les différentes propriétés de la variable aléatoire seront étudiées. L’étudiant sera en mesure de • déﬁnir une variable aléatoire • déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète • évaluer des probabilités sur une variable aléatoire discrète • calculer et interpréter l’espérance et la variance d’une variable aléatoire • calculer une probabilité sur une variable aléatoire continue • interpréter les mesures d’espérance et de variance pour une variable aléatoire continue • comparer les mesures d’espérance et de variance lors de translation et de changement d’échelle 6.1 Variable aléatoire La notion de probabilité sur l’ensemble des événements possibles impose un nouvel espace échantillonnage pour chaque expérience aléatoire ainsi la redéﬁnition de la fonction de prob- abilité. Or il y a plusieurs expériences aléatoires qui sont semblables sans avoir le même espace échantillon. Le lancer d’une pièce de monnaie pour déterminer si c’est «pile» ou «face» est identique à l’expérience consistant à lancer deux pièces de monnaies pour vériﬁer si c’est «pareil» ou «pas pareil». Pour comparer les expériences aléatoires, il faut standardiser les espaces échantillonnals. L’ensemble des nombres réels est un espace échantillonnal qui peut avantageusement servir de base commune à l’ensemble des expériences aléatoires surtout en considérant le fait que les nombres sont des entités que nous manipulons aisément. Pour faire le lien entre les résultats possibles d’une expérience aléatoire c’est-à-dire l’espace échantillonnal et les nombres réels il faut déﬁnir la notion de variable aléatoire. 2 MODULE 6 Variable aléatoire Déﬁnition 1.1 une variable aléatoire est une fonction entre un espace échantillonnal et les nombres réels telle que pour chaque événement élémentaire il y a un et un seul nombre réel qui lui est associé. Une variable aléatoire est généralement noté par une lettre de la ﬁn de l’alphabet en majuscule comme par exemple X, T, W, etc. Cela est une convention généralement acceptée et comme toutes les conventions il y a certaines exceptions. La déﬁnition des événements sur l’ensemble des nombres réels est facilitée par les relations d’ordre entre les nombres (=, <, ≤, ̸=, ≥, >). On peut ainsi déﬁnir l’événement "le résultat est 7" par X = 7 ou "le résultat est de moins de 4" par X < 4, etc. Déﬁnition 1.2 L’ensemble des nombres réels que la variable aléatoire peut prendre s’appelle le support et on le note SX. Déﬁnition 1.3 Lorsque l’ensemble des résultats possibles de la v.a., SX, est ﬁni ou dénom- brable, on dit que la variable aléatoire est discrète. Lorsque les résultats possibles d’une v.a. est un intervalle de l’ensemble des nombres réels, on dit que la v.a. est continue. Il y a deux facettes à la notion de variable aléatoire : la fonction qui fait l’association et l’expérience aléatoire sur les nombres Fonction de S vers R La fonction qui fait l’association entre l’expérience et l’ensemble des nombres réels. Cela veut dire qu’on a une expérience aléatoire avec un espace échantillonnal S puis une fonction X : S →R comme illustré par le dessin suivant : Pour chaque élément s ∈S, X (s) est un nombre qui donne la valeur de la fonction. Variable aléatoire 3 Une variable aléatoire assez évidente est celle qui associe le nombre de points obtenus lors du lancer d’un dé à la surface visible. Graphiquement cela donne Cela veut dire que X ( ) = 4, X ( ) = 2, etc. Cette façon de voir la variable aléatoire est indissociable de l’expérience qui a servi à la déﬁnition de S. On a SX = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et pour l’événement X = 5 par exemple on fait référence à s ∈S tel que X (s) = 5. Il y a donc équivalence entre les événements X = 5 et { } Exemple 1.1 On lance un dé équilibré, S = { , , , , , } On cherche la probabilité de l’événement X ≤2. Solution : Posons X la variable aléatoire qui donne le nombre de points sur la face du dé. Puisque la v.a. est une fonction de S vers les nombres réels, il faut déﬁnir l’association pour toutes les valeurs de S : X ( ) = 1, X ( ) = 2, etc. On a SX = {1, 2, 3, 4, 5, 6} L’événement X ≤2 correspond aux valeurs 1 et 2 donc à l’événement { , }. On peut alors évaluer Pr (X ≤2) = Pr ({ , }) = 1/3 Expérience aléatoire sur des nombres On peut aussi voir la variable aléatoire comme une expérience aléatoire particulière parce qu’elle a comme espace échantillonnal un sous ensemble des nombres réels. Dans un tel cas on ne considère jamais S parce que celui-ci est exactement donné par SX. Cela veut dire que pour déﬁnir une variable aléatoire on n’impose pas l’existance d’une expérience aléatoire sur un espace quelconque puis une fonction de cet espace vers R mais une déﬁnition directe à partir de R. Cette façon de voir les variables aléatoires a certains avantages : on peut déﬁnir des expériences virtuelles et ensuite les analyser dans le détail. On cherchera ensuite à quels types d’expériences de la réalité cela correspond. 4 MODULE 6 Variable aléatoire Cette façon de voir mène à la création des lois de probabilité qui seront abordées dans le module suivant et qui dressent des portraits types pour quelques situations. Il reste à trouver des cas concrets qui se rapportent à une ou l’autre des lois. Exemple 1.2 Considérons une expérience aléatoire qui donne comme résultat 1 avec prob- abilité 1/3 et 2 avec probabilité 2/3. C’est une expérience aléatroire déﬁnie directement sur les nombres et on peut dire que S = SX. L’énoncé du problème permet aussi de dire que Pr(X = 1) = 1/3 et que Pr(X = 2) = 2/3. On a une probabilité donc toutes les propriétés des probabilités sont respectées. On peut par exemple dire Pr ((X = 1)c) = 1 −Pr (X = 1) = 1 −1/3 = 2/3 6.2 Variable aléatoire discrète Lorsqu’une variable aléatoire est discrète, il sufﬁt de connaître la probabilité de chaque événe- ment de la forme X = x1 pour chaque valeur x possible pour être en mesure d’évaluer la probabilité d’un événement quelconque. On peut donc dire que la v.a. est entièrement déﬁnie par son support, SX, et l’ensemble des probabilités associées. Déﬁnition 2.1 Soit X une variable aléatoire de support SX et notons f (x) la fonction qui permet de calculer la probabilité de chaque résultat possible de la variable aléatoire : f(x) = Pr (X = x) on dit que f est la loi de probabilité de la variable aléatoire ou sa fonction de masse. Remarque 2.1 On note la loi de probabilité simplement par f lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité possible et par fX lorsqu’il peut y avoir plusieurs variables aléatoires dans un même contexte. Exemple 2.1 On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré. On veut la loi de probabilité de cette variable aléatoire. Solution : L’ensemble S est les 6 résultats possibles (les six faces du dé) tandis que la variable aléatoire qui donne le nombre de points sur la face visible du dé prend les valeurs de 1 à 6, SX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si on veut par exemple calculer la probabilité d’obtenir un 3, on doit avoir la fonction de masse de la variable aléatoire qui donne le nombre de points sur la face du 1 Lorsqu’on écrit X, cela représente la v.a. et lorsqu’on utilise un minuscule, x c’est un nombre ﬁxé. Variable aléatoire discrète 5 dé visible : X ≡«le nombre de points sur le dé». On peut déterminer cette fonction de masse par un argument d’équiprobabilité : f(x) = 1/6 pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cela veut dire que Pr (X = 2) = f(2) = 1/6 et ainsi de suite pour toutes les valeurs. Proposition 2.1 Soit X une variable aléatoire de support SX et A un événement déﬁni sur ce support alors Pr (A) = X x∈A Pr (X = x) = X x∈A fX (x) On peut donc calculer une probabilité quelconque en se basant sur la loi de probabilité (fonction de masse). En fait on applique le principe des événements disjoints pour une fonction de probabilité : la loi de probabilité est une fonction de probabilité donc cette propriété s’applique. Pour obtenir la probabilité d’un événements quelconque déﬁni sur R il sufﬁt de prendre chaque élément du support qui est dans l’événement puis de faire la somme des uploads/Management/ variable-aleatoire-aleatoire-aleatoire-aleatoire.pdf