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Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2009-2010 Devoir De Contrôle N°3 Math

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2009-2010 Devoir De Contrôle N°3 Mathématiques 3ème Maths 2 Heures 1/3 www.mathsplus.12r.org Exercice 1 (3 points) • Pour Chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. 1) Soit z un nombre complexe vérifiant : 2 11 8 z z i + = + alors l’écriture cartésienne de z est : a) 4 3 z i = + b) 3 4 z i = − c) 3 4 z i = + 2) L’écriture 71 7 9 8 = × + est la division euclidienne de 71 par : a) 8 b) 9 c) 7 3) Soit 2 0 1 cos(2 ) lim x x x → − = l alors : a) 0 = l b) 1 4 = l c) 2 = l Exercice 2 (6 points) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé ( , , ) O u v , on considère les points A, B et C d’affixes respectives : 3 1 2 2 A z i = + ; 3 1 2 2 B z i = − + et C B A z z z = − 1) a) Ecrire et A B z z sous forme trigonométrique. b) Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle. 2) a) Montrer que OABC est un parallélogramme. b) En déduire la forme trigonométrique de C z c) Déterminer alors les valeurs exactes de 11 cos 12 π et 11 sin 12 π 3) a) Déterminer l’écriture cartésienne de 4 ( 3 ) i + . b) En déduire les solutions dans ℂde l’équation 2 8 8 3 z i + = . 4) Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que : 2 3 8 z i − − = . Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2009-2010 Devoir De Contrôle N°3 Mathématiques 3ème Maths 2 Heures 2/3 www.mathsplus.12r.org Exercice 3 (5 points) Soit f la fonction définie sur ℝ par : ( ) cos(2 ) cos f x a x b x = + où a et b sont deux réels. ( ) C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , ) O i j . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la restriction de f à l’intervalle [0, ] π . 1) A l’aide du graphique montrer que 1 et 2 a b = = −. 2) Montrer que f est paire et périodique de période 2π . 3) Compléter alors ( sur la page annexe ) la construction de ( ) C sur l’intervalle [ ] 2 ;2 π π − . 4) Montrer que f est dérivable sur ℝet Calculer '( ) f x . 5) Déterminer une équation de la tangente à ( ) C au point d’abscisse 4 π . Exercice 4 (6 points) Les questions ci-dessous sont indépendantes. 1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3 n n − est divisible par 6. 2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 4 1 n − est divisible par 3. 3) Déterminer les entiers naturels a et b tels que 35( 10) 27( 13) a b + = + 4) Déterminer l’ensemble de tous les couples (a, b) d’entiers naturels solutions du système 1800 15 a b a b ⋅ =  ∧ =  5) Soit 2 3 2 a n n = + + et 2 3 b n = + ; n ∈ℕ a) Vérifier que 2 ( 1) 1 a n b n − + = + b) Montrer que les entiers a et b sont premiers entre eux. -π π 2π O -2 -1 1 2 3 j 3 π Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2009-2010 Devoir De Contrôle N°3 Mathématiques 3ème Maths 2 Heures 3/3 www.mathsplus.12r.org Feuille à remettre Nom :……… ……….……….… Prénom : …………….…..…………….. N° :........ 3 π uploads/Management/ 3am-dc3-kef-2010-pdf.pdf