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François Cottet-Emard 20 ﬁ ches Résumés de cours 103 exercices corrigés Méthodo

François Cottet-Emard 20 ﬁ ches Résumés de cours 103 exercices corrigés Méthodologie et conseils L1 L2 MATHS Algèbre Des polynômes aux applications linéaires Algèbre DANS LA MÊME COLLECTION Sup en poche est une collection destinée aux étudiants du 1er cycle, essentiellement en Licence 1 et 2. Son objectif est de permettre à l’étudiant de réviser et s’entraîner en vue de réussir ses examens. Chaque ouvrage est composé de fiches proposant des cours résumés suivis d’exercices corrigés pas à pas. François Cottet-Emard 16 fiches Résumés de cours 94 exercices corrigés Méthodologie et conseils L1 L2 L2 Analyse Des fonctions réelles aux suites L1/L2 Conception graphique : Primo&Primo® ksuperieur.com DANS LA MÊME COLLECTION ue fiche contient : s rappels de cours : définitions, théorèmes, mules importantes ; s points de méthodologie et des conseils ; s exemples détaillés pour illustrer les notions ou prendre à résoudre les questions ; s exercices et leurs corrigés détaillés. uites MATHS Analyse Des fonctions réelles aux suites Analyse Des fonctions réelles aux suites F. Cottet-Emard Toutes les maths pour bien commencer sa licence F. Cottet-Emard François Cottet-Emard L1 L2 MATHS Algèbre Des polynômes aux applications linéaires Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com © De Boeck Supérieur s.a., 2018 Rue du Bosquet, 7 – B-1348 Louvain-la-Neuve Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partielle- ment ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit. Dépôt légal : Bibliothèque Nationale, Paris : avril 2018 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2018/13647/050 ISBN 978-2-8073-1586-0 Sommaire V Sommaire Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Polynômes : divisibilité et racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Polynômes sur R ou C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Techniques de résolution d’un système linéaire. . . . . . . . . . . . . 48 6 Les matrices comme tableaux de nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7 Famille de vecteurs de Kn, l’idée de rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8 Les matrices comme familles de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9 Espaces vectoriels : définitions et généralités. . . . . . . . . . . . . . . 107 10 Base d’un espace vectoriel de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . 123 11 Sous-espace vectoriel : idées vraies et fausses . . . . . . . . . . . . . 138 12 Équations d’un sous-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 13 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 14 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 15 Applications linéaires et matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 16 Projections et symétries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 17 Formes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 18 Annexe Démonstrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 19 Annexe Formulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 20 Problèmes récapitulatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Introduction VI Introduction Cet ouvrage présente sous une forme novatrice et attrayante une pre- mière partie de l’algèbre enseigné en L1L2 dans les Universités. Après les généralités et les rappels des structures algébriques, il présente les po- lynômes, puis l’algèbre linéaire jusqu’aux applications et formes linaires. Les polynômes donnent des exemples concrets et riches pour travailler sur les espaces vectoriels, et sont donc présentés en début de volume. Un second volume de la collection exposera les déterminants, la réduc- tion des endomorphismes et l’algèbre bilinéaire. L’ouvrage est composé de fiches, chacune présentant une partie bien délimitée, avec les mots clés, les définitions, les théorèmes, de nombreux exemples et des exercices corrigés. Chaque fiche est écrite dans un for- mat relativement court, de l’ordre d’une quinzaine de pages, avec des encadrés et des couleurs mettant en valeur tous les points importants. Les démonstrations les plus courtes, et qui doivent sauter à l’œil, sont écrites au cœur des fiches, alors que les démonstrations plus longues, et souvent les plus fondamentales, sont présentées en fin de volume, dans la partie Annexe Démonstrations du livre. Mais les démonstrations de tous les théorèmes énoncés sont faites, l’ensemble est parfaitement rigoureux et ne masque rien. Le lecteur se destinant à des études de mathématiques doit lire et comprendre toutes ces démonstrations ; celui cherchant simplement le rappel des résultats fondamentaux peut éven- tuellement ne les regarder qu’en seconde lecture. Certains paragraphes ou exercices sont précédés du sigle ASPL , qui signifie « A Sauter en Première Lecture ». Il s’agit de notions importantes mais qui sont, généralement, plutôt étudiées en fin de L1L2, et qui peuvent être normalement ignorées en début de Licence. La partie consacrée aux exercices, au nombre d’une centaine, représente environ un tiers de l’ouvrage, tous sont soigneusement corrigés. Par ail- leurs, des problèmes récapitulatifs sont donnés en fin de volume, ils re- couvrent l’ensemble des notions exposées dans les fiches. Cet ouvrage est léger, agréable à lire, tout ce qui est important saute aux yeux et est donc aisément mémorisable. Des « Points méthodolo- gie » fréquents expliquent de façon claire ce qu’il faut faire ou ne pas faire, et sont une introduction précise aux méthodes de résolution ou à la compréhension. En fin de volume, un formulaire de trois pages rappelle Introduction VII toutes les formules importantes de calcul, entre autre de trigonométrie, indispensables et à bien maîtriser même en algèbre. Cet ouvrage présente une partie des notions indispensables qui doivent être abordées pendant les années L1L2 de Licence, et il sera suivi de quatre ou cinq autres volumes de la même collection, écrits dans le même esprit. Ils recouvreront l’algèbre linéaire et générale, l’analyse, les proba- bilités, la géométrie et la théorie des graphes, entre autre. L’ordre abordé ne correspond à aucun critère obligatoire, chaque Université et même chaque Enseignant suit l’ordre qui lui convient le mieux : cet ouvrage suit l’ordre mathématique qui me paraît le plus cohérent. Ce premier tome de la collection présente une partie de l’algèbre de Licence, et il formera avec les volumes suivants l’ensemble des connaissances à apprendre en L1L2, indépendamment de l’ordre du cours que chaque lecteur suivra. L’éternelle adéquation de la sortie du Lycée uploads/Management/ algebre-des-polynomes-aux-applications-lineaires 2 .pdf