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Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 1 A.N. –Mathem

Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 1 A.N. –Mathematica : Chapitre 1 : Introduction Analyse d’Erreurs Mostafa El Hamly, Ing., Ph.D. Casablanca, version 2012 Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 2 Chapitre 1 : Plan Introduction : motivation ; solution analytique vs solution numérique Source d’erreurs Erreurs de modélisation Erreurs de données Erreur absolue et erreur relative Erreurs de représentation des nombres sur ordinateur Arithmétique flottante Erreurs de troncature Autres notions importantes... TPs sous Mathematica Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 3 Analyse Numérique : Motivation Les cours de mathématiques nous ont habitués à fournir la réponse exacte ou analytique à un problème donné. Par exemple : – les équations du 2nd degré (+ 3ème ou 4ème degré), – les intégrales admettant une primitive facile à calculer, – certaines équations différentielles. Cependant, beaucoup de problèmes ne peuvent être résolus de manière exacte, en particulier dans le domaine du génie. Par exemple : – les équations polynomiales de degré 5 ou plus, – les intégrales elliptiques, – x2 Log(x) –4 Exp(4 x2) –3 = 0 – Les équations différentielles en espace et en temps en mécanique des fluides, transfert de chaleur, etc. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 4 Solution analytique vs solution numérique • Pour un grand nombre de problèmes de génie, le seul moyen de calculer la solution lorsqu’elle existe, est de l’approximer numériquement  solution numérique • Pour certains problèmes, on peut avoir : – une solution analytique (solution exacte) et – une solution numérique (solution approchée). • Objectifs de ce cours : – proposer des algorithmes pour calculer une solution approchée, – contrôler les diverses sources d’erreurs propres à l’approximation numérique, – tenir compte du fait que plusieurs algorithmes peuvent être utilisés pour résoudre le même problème. • L’analyse numérique est un domaine particulier des mathématiques où l’informatique joue un rôle primordial. • On fera un fréquent emploi du logiciel Mathematica pour la partie "applications" de ce cours. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 5 Sources d’erreurs • Une partie importante de l’analyse numérique consiste à contenir les effets des erreurs introduites. • Voici les quatre principales sources d’erreurs : 1. erreurs de modélisation, 2. erreurs sur les données, 3. erreurs dues à la représentation des nombres sur ordinateur, 4. erreurs de troncature ou de discrétisation. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 6 Erreurs de modélisation • Elles proviennent de l’étape de mathématisation, i.e. la mise en équations. • Pour réduire le degré de complexité d’un phénomène physique, on est souvent amené à simplifier le système d’équations, ce qui revient à négliger certaines composantes de la réalité physique. On commet là une erreur de modélisation. • Celle-ci peut généralement être contrôlée par un choix convenable du modèle mathématique. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 7 Erreurs de données • Elles sont liées à l’imprécision des mesures physiques. • Elles peuvent généralement être réduites en améliorant la précision des mesures. • Il est possible d’étudier l’influence de ces erreurs sur le résultat final, par exemple à l’aide de la notion de conditionnement (Cf. plus loin). Note : Dans la suite de ce cours, nous ne nous intéresserons ni aux erreurs de modélisation, ni à celles sur les données. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 8 Erreur absolue et erreur relative  Définition 1 : • Soit x un nombre réel et xa une approximation de x. – L’erreur absolue est définie par x = |x − xa| – L’erreur relative est définie par x/|x| • En pratique, il est généralement difficile de calculer x car on ne connaît pas x mais xa.  Définition 2 : • Si x  0.5 10m alors le chiffre correspondant à la mième puissance de 10 est dit significatif, et tous ceux à sa gauche le sont aussi. Exemple : • Si x =  et xa = 3.1428, d’où x = 0.12 10−2 < 0.5 10−2. • Donc le chiffre des centièmes est significatif, soit le chiffre 4 dans 3.1428 et on a en tout 3 chiffres significatifs (3.14). Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 9 Erreur absolue et erreur relative : TP Exercice : Valeur de  Sous Mathematica : • Notebook : Erreurs_TP1.nb • Notebook : Erreurs_TP2.nb • Conclusion : Sous Mathematica, il faut toujours utiliser la constance Pi comme valeur de . Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 10 Erreurs de représentation des nombres • La structure interne des ordinateurs s’appuie sur le système binaire. • L’unité d’information ou bit prend la valeur 0 ou 1. • On regroupe les bits en mots de longueur variable (8, 16, 32 ou 64 sont les plus courants). • L’ordinateur doit représenter les nombres dans un système qui lui permette d’exécuter les opérations souhaitées. • Or, sa capacité mémoire est finie par construction. • Il est donc nécessaire de représenter les nombres réels sous forme approchée. • Cela entraîne un certain nombre d’erreurs. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 11 Représentation en virgule flottante • La notation la plus utilisée est la représentation avec virgule flottante : un nombre x est codé sous la forme x  fl(x) = m × be , où – b est la base de numération, – m la mantisse et – e l’exposant. • Les calculs internes sont généralement effectués en base b = 2, même si les résultats affichés sont finalement traduits en base 10. • La mantisse m est écrite sous la forme d’un nombre avec virgule fixe et possédant un nombre maximum de N chiffres significatifs : m = 0.d1d2...dN =  [k=1, N] dk b−k , avec 0  dk  b − 1 et b-1  m < 1. • Exemple : Si N = 4, on a fl() = 0.3142 × 101 en base b = 10. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 12 Représentation en virgule flottante • Le fait d’utiliser un nombre limité de bits pour représenter un nombre réel a des conséquences importantes : – Quelque soit le nombre de bits utilisés, il existe un plus petit et un plus grand nombre représentables. – Il existe donc un intervalle fini hors duquel on a un débordement ou un sous-dépassement. Exemple : 3.1415 <  < 3.1416 – À l’intérieur de cet intervalle fini, seul un nombre fini de nombres sont représentables exactement. • Pour représenter les nombres réels on recourt généralement à : – La troncature : on retranche les chiffres à partir de la position N + 1. – L’arrondi : on ajoute 5 au (N + 1)ième chiffre de la mantisse avant d’effectuer la troncature. • La représentation en virgule flottante induit une erreur relative qui dépend du nombre de bits de la mantisse, de l’utilisation de la troncature ou de l’arrondi, ainsi que du nombre x à représenter. Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 13 Représentation en virgule flottante • Définition 3 : La précision machine  est la plus grande erreur relative commise en représentant un nombre réel sur ordinateur. En utilisant l’arrondi, on a :  = b1−N • Remarques : En général, les opérations arithmétiques ne sont pas associatives. La propriété de distributivité de la multiplication n’est pas toujours respectée en arithmétique flottante. La multiplication et la division sont des opérations relativement simples à effectuer en arithmétique flottante, grâce à la loi des exposants. Par contre, il faut être beaucoup plus prudent avec l’addition et la soustraction. TP : Notebook : Précision_TP1.nb Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 14 Erreurs de troncature • Il ne s’agit plus ici des erreurs de troncature liées à la représentation des nombres sur ordinateur, mais aux erreurs de troncature des méthodes numériques intervenant dans l’intégration, la différentiation, etc. • Elles constituent la principale catégorie d’erreurs. Toutes les méthodes numériques que nous considérerons dans ce cours auront des erreurs de troncature plus ou moins grandes. • La plupart de ces méthodes numériques sont basées sur le développement de Taylor. • Ce dernier peut simplement s’écrire comme un problème d’approximation. Il s’agit de trouver le polynôme qui approxime le mieux possible une fonction donnée au voisinage d’un point. TP : Notebook Series_TP1.nb Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 15 Autres notions importantes Problème bien posé Conditionnement (Cf. plus loin) Propagation d’erreurs : • stabilité/instabilité Dr. M. El Hamly : Analyse Numérique - Mathematica : Introduction 16 Notes uploads/Management/ analyse-numerique-el-hamly-chap1-2011-12.pdf