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ANALYSE STRUCTURELLE DU PANTHEON Un exemple de modélisation de systèmes maçonné

ANALYSE STRUCTURELLE DU PANTHEON Un exemple de modélisation de systèmes maçonnés complexes par les éléments finis : résultats et difficultés. 1. Introduction : pathologies des maçonneries 2. Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes 1. Analyse limite 2. Analyse aux éléments distincts 3. Analyse aux éléments finis 3. Une application concrète : le Panthéon 1. But et principe de l’étude, description de l’édifice, de ses désordres 2. Hypothèses d’explication des désordres 3. Choix du type d’analyse 4. Calibration et choix des modèles 5. Résultats et interprétation 4. Conclusion PLAN Maçonneries : généralités Introduction • Maçonnerie : substrat (pierre, brique), joints éventuels (mortiers, coulis), interfaces • Piliers, voûtes, murs et panneaux • Varié, anisotrope, hétérogène, caractéristiques variables • Résistance en compression entre 2 et 20 Mpa • Résistance en traction très faible : 0 à 500 kPa • Résistance au cisaillement médiocre • Problèmes particuliers de durabilité ! Question de l’entretien et de l’évaluation du patrimoine historique Maçonneries : pathologies Introduction • Pathologies d’origine chimique : lessivage des joints, attaque des pierres, … • Pathologies d’origine «!structurelle!» : ! compression (écrasement des joints ou des pierres) ! traction (fendage des pierres, rupture des interfaces, fissures et fractures de toutes sortes) ! cisaillement (fissures et fractures) ! mécanismes très particuliers de ruines des voûtes Maçonneries : pathologies Introduction Ruines des voûtes Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Sauf qualité inquiétante des matériaux constitutifs, les mécanismes classiques de ruine des voûtes se font par formations de charnières sur certains joints. ! Ouverture / Ecrasement du joint • Rotations des blocs autour de ces charnières • Diminution progressif du degré d’hyperstaticité de la voûte jusqu’à effondrement • Le nombre de charnières à la ruine (donc la forme du mécanisme) varie selon le type de charge appliqué. Voûte sous défaut de charge symétrique Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes Formation de cinq charnières / Soulèvement de la clef Voûte sous excès de charge symétrique Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes Formation de six charnières / Effondrement de la clef Voûte sous excès de charge asymétrique Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes Formation de quatre charnières Voûte sous charge horizontale Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes Méthodes d’analyses Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Trois grands types de méthodes : ! Analyse limite ! Analyse aux éléments distincts ! Analyse aux éléments finis • Méthodes très différentes dans leurs natures et leur raisonnements : ne donnent pas le même type de résultats. Analyse limite Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Repose aujourd’hui sur les travaux de Heyman (1964) et la formalisation du calcul à la rupture de Salençon (1979) • Vision globale des éléments voûtés et explicitation de mécanismes de ruine : s’intéresse à la STABILITE du système • Type d’approche historiquement employé : ! Règles de proportion antiques et médiévales ! Statique graphique initiée par Coulomb (1773) ! Formalisation : épure de Méry (1840) ! Théorie du calcul à la rupture et implémentation (programme VOUTE du SETRA 1979-1982) Epure de Méry Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Repose sur le tracé du polygone funiculaire et sur la détermination de la ligne des centres de pression. • Principe de Méry : «!L’intrados et l’extrados forment deux limites dont la courbe des pressions ne doit jamais sortir, et , lorsque cela arrive, l’équilibre est impossible.!» Avantages et inconvénients Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Avantages : ! Dans sa forme actuelle, méthode puissante et adaptable ! Méthode légère, d’interprétation et d’implémentation faciles ! Donne directement une indication sur la stabilité du système • Inconvénients : ! Ne permet pas d’accéder à l’état de contraintes ou aux champs de déformation ! Ne donne qu’une condition nécessaire de stabilité; nécessite de mener une réflexion sur les coeff. de sécurité pour obtenir une condition suffisante Analyse aux éléments distincts Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Repose sur une représentation du milieu par un assemblage de blocs maillés, rigides ou déformables • Les mouvements des blocs sont régis par les lois de la dynamique et par des lois d’interface au niveau des joints • Les blocs n’interagissent que par leurs sommet, arêtes ou faces • Le schéma de résolution est de type différences finis, généralement explicite (nécessite de calibrer le pas de temps pour ne pas propager les perturbations trop loin) • Les discontinuités, comme les joints, sont traités comme des conditions aux limites pour la résolution • A chaque pas de temps, actualisation des positions des blocs et des conditions de contact Avantages et inconvénients Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Avantages : ! Adapté au milieux discontinus et hétérogènes (pas d’HPP) ! Avec des paramètres adéquats, excellente précision (contraintes, déplacement et stabilité) ! Pas de formation de matrice de raideur ! Implémentation incrémentale des discontinuités • Inconvénients : ! Calibration des paramètres nécessaires ! Schéma aux différences finis relativement instable ! Inapplicable aux grandes structures Analyse aux éléments finis Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Edifices en maçonnerie généralement très surdimensionnés : plus utile d’avoir l’état de contrainte et le champ de déformation que les conditions globales de stabilité • Géométries parfois complexes (monuments historiques) qui rendent délicat l’utilisation des techniques usuelles de RdM • Méthode des éléments finis adaptée, puissante et souple MAIS • Usine à gaz (stockage et inversion d’une matrice de raideur) • Importance cruciale des paramètres d’entrée • Gestion des non-linéarités et réalisme des résultats Types d’analyse aux EF : analyse locale Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Modélisation de la maçonnerie comme un ensemble de blocs étendus séparés par des éléments d’interface où se concentrent les phénomènes inélastiques (fissuration, glissement, écrasement) • Nécessite un modèle micromécanique précis (comportement des éléments et critères de rupture) Exemple de modèle en blocs étendus faisant intervenir une fissure potentielle localisée dans le bloc Analyse locale : commentaires Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Robuste, capable de suivre les chemins de chargements • Excellente précision des résultats : qualitativement (profils de rupture) et quantitativement (~ 15% d’écart) • Donne des indications sur les paramètres locaux et sur la stabilité globale (modes de ruine, charges de rupture) • Utile pour les calibrations de modèles homogénéisés • Peu utilisé, sauf pour les voûtes (pourtant le moins probant) • Délicat à mettre en œuvre (problème de la détermination des nombreux paramètres d’entrée) • Usage réservé à des systèmes ou des sous-systèmes très localisés Analyse locale : exemple Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes Encastrements Voussoir Joint Int. pierre/joint Analyse locale : pas si simple ! Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes On emploie le module d’éléments de contact non-linéaires TCNL du logiciel CESAR-LCPC… Analyse locale : résultats Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Mode de ruine en quatre charnières • Etat de contraintes dans la voûte Types d’analyse aux EF : analyse globale Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Modèles globaux qui relient déformations et contraintes dans la maçonnerie considérée comme un composite • Repose sur des techniques d’homogénéisation des différents composants (substrat, joints) pour parvenir à un comportement global du matériau (isotrope ou non). • Choix à faire dans le modèle de comportement et dans les critères de plasticité et de résistance !Analyse élastique linéaire !Analyse linéaire «!améliorées!» (pas de résistance en traction) !Analyse non-linéaire Analyse globale : commentaires Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes • Adapté aux structures étendues • Accès aux champs de contraintes moyennes et aux déformées • Met bien en évidence les points-clefs de la structure • Ne permet pas d’accéder aux modes de ruine • Très sensible aux paramètres d’entrée du modèle • Résultats uniquement qualitatifs dans le cas linéaire • Nécessite une calibration parfois fastidieuse (analyse locale) des paramètres homogénéisés, notamment dans le cas non-linéaire • Recul et esprit critique à conserver Analyse globale : exemple Comparaison des méthodes d’analyse sur le cas des voûtes Déformée et état de contraintes, pas de mode de ruine Analyse du Panthéon aux EF Un exemple complet d’application : le Panthéon • Etude réalisée dans le cadre d’une assistance à la maîtrise d’ouvrage pour le Ministère de la Culture : audit sur la stabilité du Panthéon • Focalisation sur la stabilité et l’évolution des dômes du Panthéon : cœur des problèmes de stabilité de l’édifice • But : identifier les points-clefs du fonctionnement structurel, valider une hypothèse d’explication des désordres observés, disposer au mieux d’éventuels renforcements Le Panthéon : historique Un exemple complet d’application : le Panthéon • Construit entre 1758 et 1790 par Soufflot et Rondelet • 110 mètres de long, 85 de large, 85 de haut • Dôme de trois coupoles superposées en maçonnerie sans aucune charpente surmonté d’un lanternon • Edifice en pierre armée : uploads/Management/ analyse-structurelle-du-pantheon.pdf