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C a lc u l d e p r o b a b ilit é s e t a n a ly s e s s t a t is t iq u e s P

C a lc u l d e p r o b a b ilit é s e t a n a ly s e s s t a t is t iq u e s P a r t ie 1 Masse horaire 30 heures dont 20 heures de cours magistraux et 10 heures de travaux dirigés Enseignant K. Florentin MONKOTAN Cycle et année d’étude Finances et Contrôle de Gestion – 3ème année de Licence Langue d’enseignement Français Lieu du cours HECM – site d’Akpakpa Compétences à acquérir L'objectif général du cours est de familiariser l’apprenant avec l’outil d’aide à la prise de décisions que sont la probabilité et la statistique. À l'issue de cet enseignement, les étudiants devront être en mesure d'utiliser les notions de base de la modélisation probabiliste et de travailler avec des variables aléatoires; d'appliquer les techniques les plus fréquemment utilisées de la théorie des probabilités (probabilité et espérance conditionnelles, loi normale, de Poisson et exponentielle) dans des domaines divers, en particulier celui qui est le leur propre. L’étudiant devra aussi être capable d’explorer des ensembles de données riches en structure par les méthodes de l'inférence statistique; d'appliquer les techniques de calcul d'intervalles de confiance et de tests d'hypothèses. Thèmes abordés Première partie: Probabilités - Notions de base: probabilité, probabilité conditionnelle, probabilité composée et probabilité totale, théorème de Bayes, indépendance. Variables aléatoires, inégalités de Markov et chebyschev, fonctions d’une variable aléatoire, indépendance. Deuxième partie: Statistique inférentielle – Notions de bases : échantillonnage, type d’échantillon, estimation de paramètres, tests d'hypothèses relatifs aux moyennes, variance et proportions. La statistique est un ensemble de méthodes scientifiques basées sur le recueil, l’organisation, la présentation de données, ainsi que sur la modélisation et la construction de résumés numériques destinées à faciliter la prise de décision. On retiendra deux formes principales de statistiques : la statistique descriptive et la statistique inférentielle. La statistique descriptive permet de décrire les données observées et de tirer des conclusions valables uniquement pour cet ensemble étudié. Ainsi, les prises de décisions sont uniquement relatives aux données interprétées (à la description que l’on a pu en faire !). A contrario, la statistique inférentielle synthétise les informations sur un petit nombre de données et par des méthodes appropriées permet de tirer des conclusions, donc d’analyser et de prendre des décisions applicables sur un plus grand effectif, en général la population. Activité 0 : BelBille Sarl est une entreprise spécialisée dans la production de billes de bois. Cette entreprise emploie 10 bucherons qui travaillent 3 jours par semaine et produisent 125 billes en moyenne par jour. Suite à des négociations, BelBille a signé un contrat pour la fourniture de 2.350 billes par mois. Peut-elle dans ses conditions actuelles honorer ses engagements ? Quelles stratégies peut-elle adopter, sinon ? Solution 0 : Peut-on appliquer ces dernières décisions à toutes les entreprises du secteur du bois ? à toutes les entreprises, quelle que soit leur secteur d’activité ? L’activité 0 porte uniquement sur des données relatives à une entreprise. Les décisions à prendre alors dans un tel contexte seront précisément relatives uniquement à cette entreprise au cours de cette période ! Il serait hasardeux en effet de vouloir rendre ces décisions universelles c’est-à-dire applicables à toutes les entreprises du secteur du bois, encore plus à toutes les entreprises. Une telle analyse dont les résultats sont uniquement spécifiques aux individus étudiés relève du domaine de la statistique descriptive. On entrerait dans le domaine de la statistique inférentielle lorsque les résultats des analyses et/ou les décisions issues de ces analyses impliqueront d’autres entreprises du même secteur, voire toutes les entreprises de ce secteur d’activités. Après avoir étudié la statistique descriptive au cours des deux précédentes années, il importe à présent de pouvoir faire des inférences. En effet, il n’est pas toujours aisé, ni commode faire une étude sur toute une population ; bien souvent cela se révèle même très onéreux. De nos jours, la statistique est utile à toutes les disciplines. C’est pourquoi il est important que nous l’étudions et en comprenions quelques notions fondamentales. Le présent cours aura deux parties essentielles : la probabilité et la statistique inférentielle. Ces deux parties seront subdivisées en deux chapitres chacun donnant en définitive quatre (04) chapitres : Théories de probabilité, variables aléatoires réelles, introduction à l’échantillonnage et estimations de paramètres. Compte tenu de la masse horaire allouée et du contenu du programme, l’apprenant est invité à se maintenir dans un esprit d’alerte, d’éveil et de travail constants et réguliers. Il devra en particulier s’assurer de parcourir le cours avant son exécution, ce qui lui facilitera la compréhension. Divers documents ont été utiles pour composer ce cours. C’est le lieu de remercier tous ses merveilleux enseignants qui ont par générosité, permis de consulter et/ou d’utiliser leurs documents sans obligation d’achat. Malgré toutes ces contributions, l’on ne saurait qualifier ce document de parfait ; non, loin de là. Aussi, toutes remarques ou suggestions visant à son amélioration sont bienvenues car tous ses défauts ne sont imputables qu’à l’auteur. Chapit re 1 I. Définitions et rappels : le basique La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l’´etude d’expériences dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certitude. Ainsi, si l’on jette 600 fois un dé parfait, non pipé, on peut s’attendre à ce que le chiffre «2 » apparaisse environ 100 fois, tout comme le chiffre « 5 » ou un autre des 6 chiffres marqués sur chaque face du dé. De même, si l’on installe dans un hôtel un nombre plus ou moins important de climatiseurs de même marque et modèle, l’on peut constater que leur durée de vie restera dans un intervalle que l’on peut déterminer par avance, en ayant les informations adéquates. La théorie des probabilités permet de donner un sens précis à ces considérations un peu vagues. La statistique permet de confronter les modèles probabilistes avec la réalité observée afin de les valider ou de les invalider. Par exemple si quelqu’un a 90 bonnes réponses sur 100 au questionnaire, a-t-on vraiment raison de le qualifier de « bon » dans cette matière ? En d’autres termes, peut-on valablement dire que la chance ou le hasard n’ont rien à y voir ? Seule la répétition, un grand nombre de fois de ce résultat pour cette matière peut permettre de « déduire » de ce que Théories de probabilité cet individu est « bon » jusqu’à une limite donnée (on parle de seuil en statistique) dans cette matière ; n’est-ce pas ? Il existe plusieurs manières de définir une probabilité. Principalement, on parle de probabilités inductives ou expérimentales et de probabilités déductives ou théoriques. On peut les définir comme suit : Probabilité expérimentale ou inductive : la probabilité est déduite de toute la population concernée. Par exemple, si sur une population d’un million de naissances, on constate 530000 garçons et 470000 filles, on dit que P[garçon] = 0.53 Probabilité théorique ou déductive : cette probabilité est connue grâce `a l’´etude du phénomène sous-jacent sans expérimentation. Il s’agit donc d’une connaissance a priori par opposition `a la définition précédente qui faisait plutôt référence `a une notion de probabilité a posteriori. Par exemple, dans le cas classique du de parfait, on peut dire, sans avoir a jeter un de, que P [”obtenir un 4”] = 1/6. Comme il n’est pas toujours possible de déterminer des probabilités a priori, on est souvent amené à réaliser des expériences. Il faut donc pouvoir passer de la première à la deuxième solution. Ce passage est suppose possible en terme de limite (i.e. avec une population dont la taille tend vers la taille de la population réelle). L'analyse combinatoire est le dénombrement des dispositions que l'on peut former à l'aide des éléments d'un ensemble fini. 1.1. L'ensemble étudié : éléments discernables et éléments indiscernables Représentons les éléments d'un ensemble par e1; e2;… ; en. L'ensemble Ω comporte n éléments, i.e. card(Ω) = n. Si ei et ej sont équivalents, on dit qu'ils sont indiscernables. Si ei et ej sont différents, on dit qu'ils sont discernables. L'ensemble Ω de n éléments peut être constitué d'éléments discernables 2 à 2. Ex. {a; b; c; d ; e}. Tous les éléments de Ω peuvent aussi être tous indiscernables. Ex. {a; a; a; a; a}. Les éléments d'un ensemble peuvent être discernables ou indiscernables. Ex. Ω = {a; b; a; a; c; d; d; c; a}, card(Ω) = 9. 1.2. Les différentes dispositions Une disposition est l'ensemble formé d'éléments choisis parmi les n éléments de l'ensemble étudié. Un élément figurant dans une disposition est caractérisé par : – le nombre de fois où il figure dans l'ensemble ; – sa place dans la disposition. Exemple 1. Soit un ensemble de 4 cartes {9p; 9t; 7ca; 7co}. La hauteur 9 se répète 2 fois, le 9p se trouve en première position. on retiendra les définitions suivantes : Disposition sans répétition. C'est une disposition où un élément peut apparaître 0 ou 1 fois. Disposition avec répétition. Un élément peut figurer plus d'une fois. Disposition ordonnée. L'ordre uploads/Management/ calcul-de-probabilites-et-analyses-statistiques.pdf