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r. E. IDHJIOB MATEMATHl:J.ECKHA AHAJIH3 I!IYHRL\HH O)lHOrO DEPEMEHHOrO tiaeT& 3 HSAA.TEn&CTBO oHAYHA• MOCKBA G. CHILOV Analyse mathématique FONCTIONS D'UNE VARIABLE ae partie Oetuci .\me ldi ti on Editions Mir • Moscou R~impressioa 1978 Traduit du russe par Vitall Kharine ® Traduction française•Edltlons Mir t973 Avant-propos La troisième partie du livre • Fonctions d'une variable t es basée sur les mêmes principes que les deux premières pricédemment parues. Ils sont exprimés dans l'avant-propos du premier tome. La numérotation des chapitres du présent volume (12-16) continue celle du précédent (1-11). Dans la troisième partie, le rôle principal appartient au chapi- tre 12 «Structures fondamentales de l'analyse 11 où l'on considère les espaces vectoriels, les espaces métriques (contrairement au chapitre 3 de la première partie, ici ce sont des espaces fonctionnels, et non pas des ensembles de points dans un espace de dimension finie, qui en servent de modèles), les espaces normés, les algèbres normées et, enfin, les espaces hilbertiens. Les algèbres normées sont appliquées à la théorie des opérateurs linéaires dans un espace normé; en particulier, le «calcul opérationnel t des fonctions ana- lytiques dans une algèbre normée, appliqué à l'algèbre des opérateurs linéaires, conduit à des théorèmes du genre de l'alternative de Fredholm. L'étude de l'espace vectoriel normé des suites bornées et celle des fonctionnelles sur cet espace sont liées aux notions do limite généralisée et de sommation généralisée des séries. Dans le chapitre 13 t Equations différentielles ~. on établit les théorèmes principaux sur les solutions des équations différenliclJes ordinaires pour les fonctions à valeurs dans un espace normé. La solu- tion d'une équation linéaire à coefficient opératoriel constant s'exprime par l'exponentielle i'un opérateur; en l'explicitant nous obtenons les formules pour les solutions d'une équation linéaira à coefficients constants, d'un système d'équations de ce type et d'une équation d'ordre supérieur. Pour une équation linéaire à coefficient opératoriel variable, on construit la méthode de variation de la constante. 6 A V ANT•PROPOS C'est essentiellement les séries de Fourier que l'on élodie dans le chapitre 14 « Développements orthogonaux ~ ; on considère de divers types de convergence et de sommabilité de ces séries. Le chapitre 15 t Transformation de Fourier t, parallèlement à la théorie réelle ordinaire, traite des problèmes liés au domaine complexe, en particulier à la transformation de Laplace. Dans le chapitre 16 « Courbes gauches t, nous expœons la théorie de la conrbure dans un espace à plusieurs dimensions. Comme dans les deux premières parties, l'exposé est accompagné d'exercices. On trouve les réponses et les indications correspondantes à la fin du llvre. L'auteur Ainsi, avec ces indisp~nsabl•s correc- tifs, peut-on mieult prendre con!cien- ce dela Vie interne da la mdthématique, de ce qui fai L à la fois son unité ct. sa diversité; telle une grande cil4! don\ les faubourgs ne cessent de progresser, de façon queliJUe peu chaotique, sur le lerrain env~ronnant, tandis que le centre se reconstruit périodiquement, chaque fols suivant. un plan plus clair et une ordonnance plus maje~ tneuse, jetant à bas les vieult quarllent et leurs dédales de ruelles, pour lancer vers périphérie des avonues toujours plus directes, plus larges ot plus com- modes. TROIS lEME PARTIE N. Bourbaki, L'architectura des mathématiques (t938) Chapitres choisis de l'analyse moderne CHAPITRE 12 Structures fondamentales de l'analyse H 1 1 b ar t. C'est donc celui-là 1 Mais bion sOr que je m'en souvlons, il élalt. mon élève dans Jo tPmps. Après, il est devonu poèle: évidl!m- ment, Il n'avait pas assez. de fantaisie pour s'occuper des mathématiques. Nous avons déjà parlé de structures mathématiques (§ 2.5). Disons-en encore quelques mots visant cette fois les structures qui se présentent dans l'analyse. Les objets de l'analyse mathématique sont les nombres, les fonctions et les opérations sur ces nombres et fonctions. Du point de vue le plus général, les llens qui existent entre ces objets sont décrits par la théorie des ensembles. En effet, nombres el fonctions forment des ensembles variés; les relations d'inclusion, les opérations de réunion, intersection, passage au complémentaire permettent de décrire certaines propriétés générales de ces ensembles. Nous arrivons à des structures fondamentales de l'analyse en imposant aux ensembles les conditions supplémen- taires mises sous la forme d'un système d'axiomes correspondant. à certaines propriétés ou opérations que l'on utillse dans l'analyse mathématique classique. C'est ainsi qu'apparaissent. les structures mathématiques suivantes: espace vectoriel où 1 'on axiomatise les opérations linéaires d'addition des éléments et de multiplication d'un élément par un nombre; espace métrique où., à l'aide de la notion de distance, on axiomatise l'opération de passage à la limite; espace vectoriel normé (q: de Banach t) où l'on considère les opéra- tions linéaires ainsi que le passage à la limite ; algèbre normée où l'on ajoute aux opérations mentionnées celle de multiplication des éléments; espace hilbertien où l'on axiomatise la notion de produit. scalaire, ce qui permet d'opérer non seulement avec les longueurs de vecteurs mais aussi avec les angles qu'ils forment; onfin, lorsqu'on demande que le nombre de dimensions soit fini, on aboutit aux espaces vectoriels affine (i.e. non métrisé), normé et hilbertien (ou euclidien) de dimension finie. A part les structures fondamentales mentionnées, il existe une quantité de structures intermédiaires dont nous ne parlons pas pour l'instant bien qu'elles 10 CH. 12. STRUCTURES PONDAJIENTALES DE L'ANALYSI:: soient très importantes (espaces topologiques, espaces partiellement ordonnés, ete.). Voici le schéma des structures fondamentales que nous allons étudier plus on détail : Chaque flèche désigne une déduction, i.e. un passage d'une notion générale à une notion spéciale. § t 2.1. Espaces vectoriels •) t2. tt. On construit l'axiomatique de l'espace vectoriel en parlant des propriétés de l'espace réel n-dimensionnel Rn (2.61) mais sans tenir compte de la notation utilisant les coordonnées et en remplaçant le corps R des nombres réels par un corps quelcon- que K (1.22). Notamment, un espace vectoriel K sur le corps K est un ellllemble des objets z, y, . . . appelés vecteurs, pour lesquels on a établi les opérations d'addiLion el de multiplication par les nombres (du corps K) de sorte que les axiomes suivants soient satisfaits : a. z + y = y + z quels que soient z et y de K. b. (z + y) + z = z + (y + z) quels quo soient z. y, z de K. c. Il existe dans Kun vecteur désigné par 0 (vecteur nul) tel que z + 0 = z pour tout z E K. d. Pour tout z E K il y a un élément y E K dit opposé de z tel que ~+y= O. e. CL (z + y) = CLZ + a.y quels que soient z, y E K et a. E K. f. (a.+ P) z = CLZ + Pz quels que soient z E K eL a. et p de K. g. i•z = z pour tout z E K. h. a. <Pz) = (a.jJ) z quels que soient z E K et a. et P de K. Lorsque le corps K est le corps R des nombres réels, l'espace K est appelé espace vectoriel réel et est désigné par R. Lorsque le corps K est le corps C des nombres complexes, l'espace K est appelé espace vectoriel complexe et désigné par C. t2.t2. Les axiomes de l'addition a-d répètent les axiomes de 1.21 pour les nombres réels. C'est pourquoi, dans toul espace vectoriel, •) Pour plus de d6tails, cf. [14). 1 12.1. ESPACES VECTORIELS 1t les corollaires que nous avons tirés dans § 1.3 des axiomes de l'addi- tion des nombres réels sont valables, à savoir: unicité du zéro, nnicilé de l'opposé pour tout z E K, existence et unicité de la solu- tion de l'équation a+ z = b, ce qui garantit la possibilité d'une définition correcte de 1 'opération de soustraction. L'op4!ralion de multiplication des éléments d'un espace vectoriel n'est pas définie, et la ressemblance des axiomes e-h avec certains axiomes de la multiplication des nombres réels cités dans 1.22 est trompeuse. Pour cette raison, quelques-uns seulement des théorêmeB de § 1.4 sont valables pour les espaces vectoriels. Restent justes, sans que la démonstration change tant soit peu sérieusement, les propositions suivantes: a (analogue de 1.47a). Pour tout z E K on a l'égalité O·z = 0 (lei 0 dans le second membre est le vecteur nul et dans le premier le nombre 0 du corps K). b (analogue de 1.47b). Si ax = 0, alors ou bien a = 0, ou bien %=o. En effet, si a~ 0, on a d'après 12.11 g-h: z=.!...cu=.!...·O=O. a a e (analogue de 1.49). Pour tout z E K l'égalité -z = (-1) z 11 lieu. 12.13. E :xe m p 1 es d'espaces v e ct or i e 1 s. Signa- lons quatre types d'espaces sur le corps R des nombres réels: a. Nombres réels eu:x-mêmes avec les opérations habituelles. b. Espace réel Rn de dimension n ( § 2.6). e. Espace R (E) de toutes les fonctions (à valeurs réelles) définies sur un ensemble E, avec les opérations habituelles uploads/Management/ chilov-g-analyse-mathematique-fonctions-d-x27-une-variable-tome-2-3me-partie-mir-1978.pdf