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Devoiramimath7c12 2018 1 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Bac Blanc Niveau C Durée h Epreuve de Maths Proposée le décembre de h à h Exercice points F EB F F F EB F F F EC F F F EC F F On considère la matrice A F

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Bac Blanc Niveau C Durée h Epreuve de Maths Proposée le décembre de h à h Exercice points F EB F F F EB F F F EC F F F EC F F On considère la matrice A F EC F EC F EC F F F F et I F EC F EC F F F EC F F F F F F On pose N A ?? I F ED F F F ED F F a Calculer N b Calculer N N c Véri ?er que N O o? O est la matrice carrée nulle d ? ordre On dit que N est nilpotente En remarquant que A N I N I et que N et I commutent ? a Montrer que pour tout entier naturel n An CnkNk k b En déduire en fonction de n l ? expression de An Exercice points On considère dans l ? équation E x ?? y a Justi ?er que E admet des solutions dans ? b Véri ?er que le couple est une solution de E c Résoudre dans puis dans a Soit n ?? Montrer que F F F F n ?? F F F F F F n ?? si et seulement si n ?? b Quel est le PGCD n c Une marchandise est mise dans des cartons à pièces le dernier carton ne contient que pièces et si elle est mise dans des cartons à pièces le dernier carton ne contient que pièces Déterminer le nombre de pièces de cette marchandise sachant qu ? il est entre et Exercice points On considère un triangle ABC direct On construit à l ? extérieur de celui- ci trois carrés qui s ? appuient respectivement sur les côtés AB BC et AC de centres respectifs P Q R On note respectivement a b c p q r les a ?xes des points A B C P Q R dans un repère orthonormé direct O u v a Démontrer que dans le carré construit sur AB on a p a ?? ib ??i b Etablir des relations analogues pour q et r en raisonnant dans les deux autres carrés c Montrer que les triangles ABC et PQR ont le même centre de gravité a Montrer que les droites AQ et PR sont perpendiculaires Epreuve de maths C heures Proposée par l ? association des amis de maths AMIMATHS Page Cb Montrer que les droites AQ BR et PC sont concourantes c Soit H le point de concours de ces droites Montrer que l ? a ?xe h de H véri ?e F F F F F F F F F F rq ??p h ?? p h r ??p q ??p h r ??p a h q ??p b r ??p a q ??p b On considère le polynôme P z z ?? z ?? i z