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Cours de mécanique SOMMAIRE I.INTRODUCTION À LA STATIQUE.......................

Cours de mécanique SOMMAIRE I.INTRODUCTION À LA STATIQUE...................................................... .................2 1.MECANIQUE...................................................................................................... ..2 2.CONCEPTS DE BASE......................................................... ...............................3 3.SCALAIRES ET VECTEURS..............................................................................4 4.PRINCIPES DE NEWTON..................................................................................8 5.UNITES.................................................................................................... ............9 6.DESCRIPTION DES PROBLÈMES DE STATIQUE..........................................17 II.SYSTEMES DE FORCES........................................................................... .......20 1.INTRODUCTION............................................................................................ ....20 2.FORCE........................................................................................................ .......21 III.SYSTÈMES DE FORCES À DEUX DIMENSIONS..........................................25 1. COMPOSANTES RECTANGULAIRES............................................................25 2.MOMENT.......................................................................................... .................28 3.COUPLE................................................................................... .........................32 4.RESULTANTES.................................................................. ...............................34 IV.SYSTEMES DE FORCES A TROIS DIMENSIONS.........................................37 1.COMPOSANTES RECTANGULAIRES.............................................................37 2.MOMENT ET COUPLE...................................................... ...............................40 S. Ollu/Méca cours/ 1 / 43 Cours de mécanique I.INTRODUCTION À LA STATIQUE 1. MECANIQUE La mécanique est cette branche des sciences physiques qui étudie l'état de repos ou de mouvement des corps soumis à l'action de forces. Aucune connaissance n'est plus essentielle en analyse technique que celle de la mécanique. D'ailleurs, I'histoire de la mécanique se confond avec les origines des sciences techniques. L'application de ses principes de base est toujours aussi actuelle dans les travaux modernes de recherche et de développement en vibrations, stabilité, résistance des structures et des machines, robotique, conception des fusées et des engins spatiaux, commande automatique, rendement des moteurs, écoulement des fluides, machines et appareils électriques, comportement des systèmes moléculaires, atomiques et subatomiques. C'est donc dire que l'étude de cette matière est un préalable essentiel pour quiconque souhaite travailler dans I’un des domaines indiqués, ainsi que dans plusieurs autres. La mécanique est la plus ancienne des sciences physiques. Les premiers écrits dans ce domaine remontent à Archimède (287212 av. AV J.C.) qui y expose la théorie du levier et des corps flottants. Il faudra ensuite attendre que Stevin (15481620) formule les lois de composition vectorielle des forces, et la quasitotalité des autres principes de la statique, pour que des progrès marquants voient le jour. Galilée (15641642) est le premier à s'intéresser au problème de la dynamique des corps, notamment dans ses célèbres expériences de la chute des corps. La formulation précise des lois du mouvement est l'œuvre de Newton (16421727), à qui I'on doit aussi le calcul infinitésimal en mathématiques. Le développement de la mécanique est également jalonné des importantes contributions apportées par Léonard de Vinci, Varignon, Euler, D'Alembert, Lagrange, Laplace et d'autres. Les principes de la mécanique constituent un cadre scientifique aussi rigoureux que les mathématiques, dont la mécanique est grandement tributaire. Ainsi, les mathématiques jouent un rôle primordial dans la réalisation du but principal de la mécanique de I'ingénieur, soit I'application de ses principes à la résolution de problèmes réels. Les principes fondamentaux de la mécanique sont peu nombreux, mais ils ont d'innombrables applications. Les méthodes élaborées par la mécanique ont S. Ollu/Méca cours/ 2 / 43 Cours de mécanique été transposées à de nombreux domaines du génie. L'étude de la mécanique se divise traditionnellement en deux parties: La statique, qui s'intéresse à l'équilibre des corps soumis à I'action de forces La dynamique qui étudie le mouvement des corps 2. CONCEPTS DE BASE Certains concepts et définitions sont essentiels à l'étude de la mécanique. Il est donc extrêmement important de les comprendre dès le début. Les concepts fondamentaux utilisés en mécanique sont l'espace, le temps, la masse et la force. Espace : c'est le concept associé à la notion de position. Il représente la région géométrique dans laquelle se situent les corps dont la position est décrite par des mesures linéaires ou angulaires appelées coordonnées, qui sont rapportées à I'origine d'un système de coordonnées. Si pour définir une position on a besoin de trois coordonnées indépendantes, on est dans I'espace tridimensionnel. Si une position est définie par deux coordonnées indépendantes, on est dans I'espace bidimensionnel (plan). Temps : c'est le concept qui nous donne la possibilité d'étudier le mouvement des corps. Il représente la mesure de la succession des positions et constitue une quantité essentielle en dynamique. Le temps n'intervient pas directement dans l'analyse des problèmes de statique. Masse : représente la mesure de l'inertie d'un corps, qui exprime sa résistance au changement de sa vitesse. La masse peut aussi être considérée comme la quantité de matière formant un corps. En statique, ce qui compte le plus pour nous c'est I'attraction mutuelle que chaque corps exerce sur tous les autres corps. Force : c'est I'action exercée par un corps sur un autre corps. Une force tend à déplacer le corps sur lequel elle agit selon la direction de sa ligne d'action. La force est caractérisée par sa grandeur, sa direction et son point d'application. La S. Ollu/Méca cours/ 3 / 43 Cours de mécanique force est une quantité vectorielle. Point matériel : c'est un corps dont on peut négliger les dimensions. Dans I'optique mathématique, un point matériel est un corps dont les dimensions tendent vers zéro, de sorte qu'on peut I'identifier à une masse ponctuelle. Souvent, on choisit un point matériel comme étant l’élément infinitésimal d'un corps. Quand les dimensions d'un corps n'ont aucune incidence sur la position ou I'action des forces qui agissent sur lui, on I'identifie à un point matériel. Corps rigide : c'est la combinaison d'un grand nombre de points matériels occupant des positions fixes les uns par rapport aux autres. Un corps est dit rigide quand, pour le cas étudié, le déplacement relatif de ses éléments constitutifs est négligeable. Par exemple, le calcul de la tension dans le câble qui soutient le bras d'une grue mobile sous charge n'est pas affecté par les petites contraintes internes (déformations) existant dans les membrures formant la structure du bras. Pour les besoins du calcul des forces extérieures qui agissent sur le bras, nous allons considérer que celuici est un corps rigide. La statique s'intéresse principalement au calcul des forces extérieures agissant sur des corps rigides en équilibre. Pour connaître les efforts et contraintes internes, il faut analyser les courbes caractéristiques de déformation du matériau du bras. Ce type d'analyse fait I'objet de la mécanique des corps déformables 3. SCALAIRES ET VECTEURS La mécanique opère sur deux types de quantités les scalaires et les vecteurs. Une quantité scalaire est complètement définie par sa grandeur et est exprimée par un nombre. Quelques exemples de quantités scalaires utilisées en mécanique sont le temps, le volume, la densité, l'énergie et la masse. Par contre, les quantités vectorielles sont non seulement caractérisées par une grandeur et une direction, mais elles doivent aussi obéir à la loi du parallélogramme utilisée pour la composition des vecteurs, décrite ciaprès. Comme exemples de quantités représentées par des vecteurs, on peut mentionner le déplacement, la vitesse, I'accélération, Ia force, le moment et la quantité de mouvement. Les quantités physiques représentées par des vecteurs se classent en trois catégories : vecteurs libres, vecteurs glissants et vecteurs liés. Un vecteur libre peut se déplacer librement dans I'espace. Par exemple, si un corps se déplace sans tourner, le déplacement ou Ie mouvement de n'importe S. Ollu/Méca cours/ 4 / 43 Cours de mécanique quel point de ce corps peut être associé à un vecteur, et ce vecteur décrit parfaitement, tant la grandeur que la direction, du déplacement de chaque point du corps. On dit que le déplacement de ce corps est décrit par un vecteur libre. Un vecteur glissant agit selon une ligne précise dans l'espace. Une force extérieure agissant sur un corps rigide peut être appliquée à n'importe quel point de sa ligne d'action sans changer son effet sur I'ensemble du corps. C'est pourquoi on dit que c'est un vecteur glissant. Un vecteur lié agit dans un point d'application précis et par conséquent, il a une position fixe dans l'espace. L'action d'une force agissant sur un corps déformable ou non rigide doit être représentée par un vecteur lié au point d'application de cette force. Dans cette situation, les efforts et les déformations intérieurs existants dans le corps dépendent du point d'application de la force, de sa grandeur et de sa ligne d'action. Une quantité vectorielle V est représentée par un segment de droite orientée, dont la direction est celle du vecteur et le sens celui de la flèche. La longueur du segment représente, à une certaine échelle, la grandeur du vecteur. Quand on écrit des équations vectorielles, il faudra toujours s'assurer de bien faire la distinction entre vecteurs et scalaires. Dans les travaux manuscrits, on prendra soin de marquer d'une certaine manière les éléments vectoriel, soit en soulignant V ou en surlignant avec une flèche V puisqu'il est impossible d'écrire en gras. La direction d'un vecteur V peut être indiquée par un angle qui θ est mesuré par rapport à une direction de référence. L'inverse de V est le vecteur V, dont le sens est le contraire de celui de V. En plus d'avoir une direction et une grandeur, les vecteurs doivent obéir à la loi du parallélogramme utilisée pour les additionner. Conformément à cette loi, deux vecteurs libres V1 et V2 peuvent être remplacés par un vecteur résultant V qui représente la diagonale du parallélogramme dont es cotés sont V1 et V2. Cette composition, ou addition, de vecteurs est représentée par l’équation vectorielle : S. Ollu/Méca cours/ 5 / 43 θ V V Cours de mécanique 2 1 V V V + = Remarques : Le signe plus (+) désigne une somme vectorielle et non une uploads/Management/ copie.pdf