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INTERPOLATION POLYNOMIALE Correction-Exercice 4 Analyse Numérique - 3ème année

INTERPOLATION POLYNOMIALE Correction-Exercice 4 Analyse Numérique - 3ème année - A.U. 2021/2022 2 Enoncé Soit la fonction f(x) = 1 1+x2 (1) Déterminer le polynôme d’interpolation de Newton, aux points −2,−1,0 et 1. (2) Donner la valeur approchée de f au point x = 0.5 (3) Calculer l’erreur à ce point. (4) Estimer l’erreur sur l’intervalle [−2,1]. @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 3 Corrigé 1) En utilisant la méthode de Newton, P3(x) = β0 + β1(x −x0) + β2(x −x0)(x −x1) + β3(x −x0)(x −x1)(x −x2), avec β0 = y0 = f(x0) = 0.2 @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 3 Corrigé 1) En utilisant la méthode de Newton, P3(x) = β0 + β1(x −x0) + β2(x −x0)(x −x1) + β3(x −x0)(x −x1)(x −x2), avec β0 = y0 = f(x0) = 0.2 β1 = [y0,y1] = y1−y0 x1−x0 = f(x1)−f(x0) x1−x0 = 0.3 @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 3 Corrigé 1) En utilisant la méthode de Newton, P3(x) = β0 + β1(x −x0) + β2(x −x0)(x −x1) + β3(x −x0)(x −x1)(x −x2), avec β0 = y0 = f(x0) = 0.2 β1 = [y0,y1] = y1−y0 x1−x0 = f(x1)−f(x0) x1−x0 = 0.3 β2 = [y0,y1,y2] = [y1,y2]−[y0,y1] x2−x0 = f(x2)−f(x1) x2−x1 −0.3 x2−x0 = 0.25 @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 3 Corrigé 1) En utilisant la méthode de Newton, P3(x) = β0 + β1(x −x0) + β2(x −x0)(x −x1) + β3(x −x0)(x −x1)(x −x2), avec β0 = y0 = f(x0) = 0.2 β1 = [y0,y1] = y1−y0 x1−x0 = f(x1)−f(x0) x1−x0 = 0.3 β2 = [y0,y1,y2] = [y1,y2]−[y0,y1] x2−x0 = f(x2)−f(x1) x2−x1 −0.3 x2−x0 = 0.25 β3 = [y0,y1,y2,y3] = [y1,y2,y3]−[y0,y1,y2] x3−x0 = [y2,y3]−[y1,y2] x3−x1 −0.25 x3−x0 = −0.25 @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 4 d’où P3(x) = β0 + β1(x + 2) + β2(x + 2)(x + 1) + β3(x + 2)(x + 1)x = 0.2 + 0.3(x + 2) + 0.1(x + 1)(x + 2) −0.2x(x + 1)(x + 2) = −0.2x3 −0.5x2 + 0.2x + 1 2) P(0.5) = 0.95 ≃f(0.5) 3) E(0.5) =∣f(0.5) −P(0.5) ∣=∣0.8 −0.95 ∣= 0.015 @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 5 4) La fonction f est de Classe C4 sur [−2,1] et on a: f ′(x) = −2x (1+x2)2 f (2)(x) = 6x2−2 (1+x2)3. f (3)(x) = 24x(1−x2) (1+x2)4 f (4)(x) = 245x4−10x2+1 (1+x2)5 . on cherche maintenant à maximiser f (4) sur [−2,1]. On pose le changement de variable X = x2, ce qui revient à maximiser la fonction: F(X) = 245X2 −10X + 1 (1 + X)5 sur [0,4] et on a F ′(X) = −15X2 + 50X −15 (1 + X)6 qui s’annule en 1/3 et 3, voir le TVA X 0 1 3 3 4 F ′(X) − 0 + 0 − F(X) 24 −81 8 3 8 984 3125 @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique 6 On a alors pour tout x ∈[−2,1]: E(x) ≤sup t∈[−2,1] ∣f (4)(t) 4! ∣∣x −x0 ∣∣x −x1 ∣∣x −x2 ∣ ≤ ∣x + 2 ∣∣x + 1 ∣∣x ∣∣x −1 ∣ @UP-Maths Interpolation polynomiale Analyse numérique uploads/Management/ correction-exercice-4.pdf