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Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 1 / 10 Ch. 4 A

Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 1 / 10 Ch. 4 Analyse harmonique des systèmes Objectifs  acquérir la méthodologie d’étude des réponses fréquentielles d’un système  déterminer et caractériser les diagrammes de Bode d’un système du premier et deuxième ordre. 1. GENERALITES SUR LES ETUDES HARMONIQUES 1 Généralités L’étude harmonique consiste à étudier le comportement d’un système soumis à une entrée sinusoïdale. Dans le cas où le système est stable, on peut montrer que la réponse en régime permanent est sinusoïdale : - de même pulsation  que l’entrée - d’amplitude 0 s qui dépend de . - avec un déphasage  qui dépend de . On appelle le gain du système le rapport : 2 Réponse à une entrée sinusoïdale La réponse à une entrée sinusoïdale connue sera définie si on peut calculer so et φ. Soit l’équation différentielle liant l’entrée et la sortie d’un SLCI : On cherche la réponse à l’entrée sinusoïdale en régime permanent. Posons et : e(t) et s(t) représentent les parties imaginaires de et . L’équation différentielle devient alors : e(t) = eo sin(ωt) s(t) = so(ω).sin(ωt +φ(ω) ) ) . sin( . ) ( 0 t e t e   s(t) = so(ω).sin(ωt +φ(ω) ) 2 / T   s0 e0 Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 2 / 10 D’où : est la réponse harmonique du système. Le gain du système, rapport entre les amplitudes d’entrée et de sortie, est donné par le module de : Le déphasage , entre l’entrée et la sortie est l’argument de : 3 Méthodologie d’étude. Connaissant la fonction de transfert H(p) du système étudié, il suffit de remplacer p par jω, et de calculer le module et l’argument de H(jω). On représente l’évolution du gain et de l’argument en fonction de ω sur différents types de diagrammes. 4 Diagrammes de Bode Rappel sur l’échelle logarithmique : Dans une graduation logarithmique, il y a autant de distance entre 1 et 2 qu'entre 2 et 4 et 20 et 40. L'intervalle entre deux points dont le rapport est égal à 2 est appelé une octave. Il y a aussi autant de distance entre 1 et 10 qu'entre 10 et 100. L'intervalle entre deux points dont le rapport est égal à 10 est appelé une décade. La représentation de Bode se décompose en deux diagrammes utilisant des repères semi- logarithmiques :  le diagramme de gain qui représente son module exprimé en décibels (dB) en fonction de la pulsation  le diagramme de phase qui représente sa phase exprimée en degrés en fonction de la pulsation : Remarque : Le 0 n'apparaît jamais, il est rejeté à l'infini à gauche Intérêt : L’échelle logarithmique permet de réunir sur un même diagramme des pulsations très petites et très grandes. Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 3 / 10 Interprétation d’un diagramme de Bode : Propriétés :  La multiplication de deux fonctions de transfert : correspond à une addition dans un diagramme de Bode :  La division de deux fonctions de transfert : correspond à une soustraction dans un diagramme de Bode : 5 Diagramme de Black-Nichols D’autres représentations du gain et de la phase en fonction de ω sont possibles. Une autre connue est celle de Black-Nichols. On représente le module de en décibels en fonction de la phase exprimée en degrés, et on gradue la courbe en . Certains points sont complétés par la pulsation correspondante. ω = 0 ω =  ω1 Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 4 / 10 2. APPLICATION AUX SYSTEMES DU 1er ORDRE La fonction de transfert d’un système du premier ordre a la forme canonique suivante : ( ) 1 . K H p p   En remplaçant p par jω, il vient :    . . 1 ) . ( j K j H   D’où 2 2 ( ) 20.log 1 . dB K G           et ) . arctan(      Propriétés du gain :  quand 0   , K j H  ) . (  donc   ( 0) 20.log dB G K   ,  quand    ,    . . ) . ( j K j H  donc     ( ) 20.log 20.log dB G K     , soit une pente de -20dB/décade,  pour   1  , 1 .    , le gain réel du système vaut       (1/ ) 20.log 20.log 2 20.log 3 dB G K K dB     . Propriétés de la phase : - quand 0   ,  0  , - quand    , 90 ( / 2)     , - pour   1  , 45 ( / 4)     . 1 c    est la pulsation de cassure, elle correspond au point de rencontre des deux asymptotes du diagramme de Gain. ω ω 0° -90° Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 5 / 10 3. APPLICATION AUX SYSTEMES DU 2eme ORDRE La fonction de transfert d’un système du deuxième ordre a la forme canonique suivante : 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 2 1 ( 1 ) K K p j H p H j z p z p j                  et On en déduit, après calcul : 2 2 2 2 0 0 20.log 1 2. . dB K G z                    et 0 0 2 0 0 0 2 0 2 arctan pour , 1 2 arctan pour . 1 z z                                                                         Propriétés du gain :  quand 0   , ( ) H K  donc   ( ) 20.log dB G K  ,  quand    , 2 0 2 ( ) H K     donc   0 ( ) 20.log 40.log dB G K            , soit une pente de -40dB/décade,  pour 0    , le gain réel du système vaut     0 ( ) 20.log 20.log 2 dB G K z    , Propriétés de la phase :  quand 0   , ( ) 0 ,  quand    , ( ) 180 ( )     ,  pour 0    , ( ) 90 ( / 2)     . Propriétés des asymptotes :  les asymptotes se croisent en 0    Dans tous les cas, on aura les asymptotes suivantes → On trouve ensuite différentes formes de courbes en fonction du coefficient d’amortissement. 0° -180° Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 6 / 10 Diagramme de Bode dans le cas où z < 1 Deux types de courbes peuvent apparaitre : Cas où : La courbe de gain est toujours au dessous des asymptotes, et toujours décroissante. Cas où : Résonance La courbe de gain est toujours au dessus des asymptotes. La courbe de gain présente un maximum qui peut être déterminé à l’aide du facteur de surtension : Cette valeur maximale se trouve à la pulsation R , pulsation de résonance, telle que 0 ) (  R d dG   , soit pour : 2 0. 1 2. R z       . z z z z 0 ω ω Lycée Vauvenargues PTSI Automatique : Analyse fréquentielle page 7 / 10 Diagramme de Bode dans le cas où z ≥ 1 La fonction de transfert présente 2 pôles réels p1 et p2, distincts ou confondus. Le système peut alors être considéré comme le produit de deux systèmes de 1er ordre de constantes de temps T1 1 1 p   et T2 2 1 p   : Le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés du gain et des phases des deux systèmes du premier ordre construits séparément dans un premier temps. Remarque : dans le cas ou z=1, la fonction de transfert se uploads/Management/ asserv-analyse-frequentiel-16-17.pdf