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51 CORRIGE TD n°9 : Polarisation des ondes lumineuses. EXERCICE 1 : Polariseur

51 CORRIGE TD n°9 : Polarisation des ondes lumineuses. EXERCICE 1 : Polariseur et Analyseur 1. Un polariseur P intercepte un faisceau parallèle de lumière naturelle d’éclairement E0. Quel est l’éclairement associé au faisceau transmis ? 2. Un analyseur A est placé derrière P, et croisé avec celui-ci. Quel est l’éclairement associé au faisceau final ? 3. Un polariseur P’, dont la direction fait l’angle α avec celle de P, est placé entre les deux. Que devient l’éclairement associé au faisceau final ? Est-il possible de l’annuler en jouant sur l’angle α ? 4. L’angle α de ce polariseur est tournant de sorte que t α = Ω où Ω est la vitesse angulaire du polariseur P’. Exprimer l’éclairement associé au faisceau final, en fonction de Ω. Quel est l’intérêt d’un tel dispositif. CORRECTION 1. Pour l’onde incidente, en notation réelle 2 2 2 0 2 . 2 2 2 x y z E E E E E = = + + J G J G E . Pour l’onde incidente, en notation complexe 0 . * * * * x x y y z z E E E E E E E E = = + + J G JJG E . Par ailleurs, l’onde se propageant selon Oz, Ez = 0. D’autre part, la lumière naturelle est non polarisée et donc 2 2 x y E E = . On en déduit que : 2 0 4 x E = E . Notons θ l’angle ( ) , x p u u JJ G JJ G . L’éclairement transmis est alors : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 . 2 cos sin 2 cos sin cos sin p x y x y x y E u E E E E E E θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = = + = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J G JJ G E Or 0 x y E E = et donc 0 2 = E E . La moitié de l’éclairement est transmis par le polariseur idéal. 2. L’analyseur A est croisé avec le polariseur P : l’éclairement du faisceau final est nul. 3. Les projections successives nous donnent : ( )( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 0 0 ' ' ' ' 2 . . . . . cos sin . 2 2 p p p p A p p p A E u u u u u u u u u α α ⎡ ⎤ = = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J G JJ G JJ G JJ G JJ G JJ G JJ G JJ G JJ G JJ G E E E Cet éclairement est nul si 0 2 π α ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎣⎦ , donc si P’ est orienté parallèlement à P ou bien à A, qui sont croisés. 4. On a t α = Ω. On en déduit que : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 cos sin sin 2 1 cos 4 2 8 16 t t t t = Ω Ω= Ω = − Ω E E E E Ce dispositif fournit une intensité modulée à 4Ω. 52 EXERCICE 2 : On considère le champ électrique d’une onde électromagnétique plane ( ) , E r t G G qui a pour composantes : x y cos( t-k.r+ ) cos( t-k.r+ ) 0 x y A A ω ϕ ω ϕ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ G G G G 1. Retrouver la relation qui relie y x , et = x y A A ϕ ϕ ϕ − 2. Préciser les conditions sur ces trois paramètres pour que cette onde présente une polarisation soit rectiligne soit circulaire soit elliptique. CORRECTION 1. ( ) ( ) ( ) cos cos cos x x x y y x y x y E t kz A E t kz t kz A ω ϕ ω ϕ ω ϕ ϕ ϕ ⎧ ⎪ ⎪ = − + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = − + = − + + − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ En posant y x ϕ ϕ ϕ = − ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos cos sin sin cos sin sin x x x y x y x x y x E t kz A E E t kz t kz t kz A A ω ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ⎧ ⎪ ⎪ = − + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = − + − − + = − − + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ On élève l’expression au carré et on somme : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 / / cos sin sin 1 sin x y y x x x x E E A E A t kz A ϕ ω ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − = − + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 / / cos 2 / / cos 1 sin x y y x x y y x x x E E A E A E A E A A ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 / / 2 / / cos sin y y x x y y x x E A E A E A E A ϕ ϕ + − = 2. a). 0 ou ϕ π = alors ( ) ( ) ( )( ) 2 2 / / 2 / / 0 y y x x y y x x E A E A E A E A + ± = ou encore : y x y x E E A A = ± . La polarisation est rectiligne b). 2 π ϕ = ± alors( ) ( ) 2 2 / / 1 y y x x E A E A + = . La polarisation est elliptique avec Ox et Oy les axes de l’ellipse. De plus en z = 0, pour 2 π ϕ = , ( ) ( ) cos sin x x y y E A t E A t ω ω ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ . L’onde est elliptique droite. Par ailleurs, si x y A A = alors la polarisation est circulaire. 53 c). k ϕ π ≠ , la polarisation est elliptique. Si0 ϕ π < < , la polarisation est elliptique gauche. Si 2 π ϕ π < < , la polarisation est elliptique droite. Pour cela, on peut regarder le signe de 0 0 sin y y t dE E dt ω ϕ = ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ en fonction de φ. EXERCICE 3 : Donner les expressions réelles puis complexes ( ) , E r t G G pour les ondes planes suivantes : 1. Onde se propageant suivant l’axe Ox et polarisée linéairement à π/3 de Oy 2. Onde se propageant suivant Oy et polarisée elliptiquement à droite, le grand axe de l’ellipse, suivant Oz, étant trois fois plus grand que le petit axe. 3. Onde polarisée linéairement suivant Oy et se propageant parallèlement au plan zOx à π/4 de Oz. CORRECTION : 1. L’onde se propage suivant l’axe Ox, on en déduit que Ex = 0. ( ) ( ) 0 0 0 cos cos x y y z z E E E t kx E E t kx ω ω ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎩ Avec 0 0 / tan 3 3 z y E E π = = . 2. L’onde se propage selon Oy, on en déduit que Ey = 0. ( ) 0 cos 0 cos 2 x ox y z z E E t ky E E E t ky ω π ω ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎟ ⎜ = − ± ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ Le grand axe est selon Oz, on en déduit que 0 0 3 . z x E E = 3. L’onde est polarisée linéairement selon Oy donc Ex = 0 et Ez = 0. La direction de propagation est dans le plan z0x à π/4. 0 0 cos 2 0 x y y z E kx kz E E t E ω ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ + ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ = − ⎟ ⎨ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ 54 EXERCICE 4 : Variation uploads/Management/ corrige-td-polarisation 1 .pdf