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École Nationale Polytechnique Département des Classes Préparatoires Analyse Mat

École Nationale Polytechnique Département des Classes Préparatoires Analyse Mathématique 3 Corrigé Série TD.2 Analyse Vectorielle Partie 1 : Champs de Vecteurs Exercice 1 Soit le champ de vecteurs donné par − → F (x, y, z) = x2− → i + y2− → j + z2− → k 1. Calculer la divergence et le rotationnel de − → F . 2. Justiﬁer que − → F est un champ de gradient. Corrigé Exo.1 1. Calcul de la divergence et du rotationnel de − → F Soit un champ de vecteurs donné par − → F (x, y, z) = Fx − → i + Fy − → j + Fz − → k Par déﬁnition (a) La divergence de − → F est calculé par ∇.− → F = div(− → F ) = ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z (b) Le rotationnel de est calculé par ∇∧− → F = − → rot(− → F ) = − → i − → j − → k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Fx Fy Fz = (∂Fz ∂y −∂Fy ∂z )− → i −(∂Fz ∂x −∂Fx ∂z )− → j + (∂Fy ∂x −∂Fx ∂y )− → k Dans cet exercice, on a − → F (x, y, z) = Fx − → i + Fy − → j + Fz − → k = x2− → i + y2− → j + z2− → k Donc, ( div(− → F ) = 2(x + y + z) − → rot(− → F ) = (0 −0)− → i + (0 −0)− → j + (0 −0)− → k = − → 0 2. Justiﬁons de − → F est un champ de gradient, Sachant que − → rot(− − → grad( f )) = − → 0 pour tout champ scalaire f et comme on a trouvé que − → rot(− → F ) = − → 0 , alors on peut trouver un champ scalaire f tel que − → F = − − → grad( f ). Donc, − → F est un champ de gradient de potentiel f. Remarque : Pour vériﬁer que − → F est un champ de gradient (ou champ conservatif), il sufﬁt de vériﬁer que son rotationnel est nul (− → rot(− → F ) = − → 0 ). 1 Analyse Vectorielle ENP Département des Classes Préparatoires Exercice 2 On considère le champ de vecteurs − → F donné par − → F (x, y, z) = z2 sin(y)− → i + xz2 cos(y)− → j + 2xz sin(y)− → k 1. Vériﬁer que le champ − → F est conservatif. 2. Déterminer un potentiel de − → F . Corrigé Exo.2 On considère le champ de vecteurs − → F donné par − → F (x, y, z) = z2 sin(y)− → i + xz2 cos(y)− → j + 2xz sin(y)− → k 1. Pour vériﬁer que le champ − → F est conservatif, on doit calculer son rotationnel, − → rot(− → F ) = (∂2xz sin(y) ∂y −∂xz2 cos(y) ∂z )− → i −(∂2xz sin(y) ∂x −∂z2 sin(y) ∂z )− → j + (∂xz2 cos(y) ∂x −∂z2 sin(y) ∂y )− → k = (2xz cos(y) −2xz cos(y))− → i + (2z sin(y) −2z sin(y))− → j + (z2 cos(y) −z2 cos(y))− → k = (0)− → i + (0)− → j + (0)− → k = − → 0 Comme − → rot(− → F ) est nul, alors le champ − → F est conservatif (champ de gradient). 2. Détermination d’un potentiel de − → F . De la première question, on a trouvé que le champ − → F est un champ de gradient. Alors, − → F = − − → grad( f ), f = f (x, y, z) (1) Par déﬁnition, − − → grad( f ) = ∂f ∂x − → i + ∂f ∂y − → j + ∂f ∂z − → k (2) De (1) et (2), on obtient le système suivant              ∂f ∂x = z2 sin(y) ∂f ∂y = xz2 cos(y) ∂f ∂z = 2xz sin(y) ⇒    f (x, y, z) = xz2 sin(y) + ϕ1(y, z) f (x, y, z) = xz2 sin(y) + ϕ2(x, z) f (x, y, z) = xz2 sin(y) + ϕ3(x, y) Par symétrie (même terme se répète), on suppose que f (x, y, z) = xz2 sin(y) + ϕ. Pour déterminer l’expres- sion de ϕ, on dérive f par rapport les trois variables puis on fait l’identiﬁcation avec le système des dérivés. Alors,              ∂ϕ ∂x = 0 ∂ϕ ∂y = 0 ∂ϕ ∂z = 0 Seule la fonction constante qui vériﬁe les trois equations précédentes, donc ϕ = Cst.. Par suite, le potentiel de − → F est f = xz2 sin(y) + Cst. avec Cst. ∈R Novembre 2016 page 2 O. KHERIF Analyse Vectorielle ENP Département des Classes Préparatoires Exercice 3 Soit − → F (x, y, z) = (1 −x2)− → i + ϕ(y)− → j + (2x −y)z− → k un champ de rotationnels, où ϕ est une fonction conti- nûment dérivable telle que ϕ(0) = 0. 1. Calculer la fonction ϕ. 2. Trouver le champ de vecteurs − → G (x, y, z) = (P, Q, 0) tel que − → F = − → rot(− → G ) où P(x, y, 0) = 0 et Q(x, y, 0) = 0. Corrigé Exo.3 Soit − → F (x, y, z) = (1 −x2)− → i + ϕ(y)− → j + (2x −y)z− → k un champ de rotationnels, où ϕ est une fonction conti- nûment dérivable telle que ϕ(0) = 0. Comme − → F est un champ de rotationnels, alors div(− → F ) = 0. 1. Calcul de la fonction ϕ. Sachant que div(− → F ) = 0, alors on doit calculer d’abord div(− → F ), div(− → F ) = ∂(1 −x2) ∂x + ∂ϕ(y) ∂y + ∂(2x −y)z ∂z = ϕ′(y) −y = 0 Le calcul de la fonction ϕ revient en la résolution de l’équation différentielle de première ordre, ϕ′(y) −y = 0 ⇒ϕ′(y) = y ⇒ϕ(y) = y2 2 + Cst. En utilisant la condition ϕ(0) = 0, on obtient ϕ(y) = y2 2 . 2. Trouvons le champ de vecteurs − → G (x, y, z) = (P, Q, 0) tel que − → F = − → rot(− → G ) où P(x, y, 0) = 0 et Q(x, y, 0) = 0. Calculons − → rot(− → G ), − → rot(− → G ) = − → i − → j − → k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q 0 = (−∂Q ∂z )− → i + (∂P ∂z )− → j + (∂Q ∂x −∂P ∂y )− → k Par identiﬁcation avec le champ de vecteur − → F , on obtient              −∂Q ∂z = (1 −x2) ∂P ∂z = y2 2 (∂Q ∂x −∂P ∂y ) = (2x −y)z ⇒    Q = (x2 −1)z + ϕ1(x, y) P = y2z 2 + ϕ2(x, y) Comme on a P(x, y, 0) = 0 et Q(x, y, 0) = 0, on déduit que P = y2z 2 et Q = (x2 −1)z (On peut utiliser la troisième equation pour vériﬁer les calculs). Donc, − → G = y2z 2 − → i + (x2 −1)z− → j Exercice 4 Soient f et g deux fonctions scalaires, deux fois continûment dérivables, déﬁnies sur R2 telles que f (x, y) = g(u, v), où u et v sont données par u = x2 −y2, v = 2xy Vériﬁer que g est harmonique si, et seulement si, f l’est aussi. Novembre 2016 page 3 O. KHERIF Analyse Vectorielle ENP Département des Classes Préparatoires Corrigé Exo.4 D’abord, on dit qu’une fonction scalaire f est harmonique si ∆f = 0 . Pour vériﬁer que g est harmonique si, et seulement si, f l’est aussi, l’une des méthodes les plus simple est de montrer la liaison entre leurs laplaciennes. Pour cela, on calcul ∆f en fonction de g ∆f = ∂2 f ∂x2 + ∂2 f ∂y2 On a u = x2 −y2 v = 2xy ⇒        ∂u ∂x = 2x , et ∂u ∂y = −2y ∂v ∂x = 2y , et ∂v ∂y = 2x Commençons par les dérivées partielles premières de f      ∂f ∂x = ∂g ∂u ∂u ∂x + ∂g ∂v ∂v ∂x ∂f ∂y = ∂g ∂u ∂u ∂y + ∂g ∂v ∂v ∂y ⇒      ∂f ∂x = ∂g ∂u(2x) + ∂g ∂v(2y) ∂f ∂y = ∂g ∂u(−2y) + uploads/Management/ corrigetd2-2.pdf