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1 Cours de Méthodes Numérique Destiné aux étudiants de deuxième Bachelier Ingén

1 Cours de Méthodes Numérique Destiné aux étudiants de deuxième Bachelier Ingénieur Industriel 2016 - 2017 Prof. Dr. Ir. Gustave MUKOKO Phd en Sciences de l’Ingénieur/ Génie Civil Ass. Ir. Eddy BILITU Ir. Ind. En Electromécanique 2 Méthodes Numériques Objectifs du cours L'objet du cours est: • d'introduire le concept de solution numérique approchée de problèmes en physique et math dont la solution analytique n'est pas disponible ou difficile à obtenir. Il s'agit de présenter rigoureusement les fondements des méthodes numériques et de développer une méthodologie scientifique. On insiste aussi sur la complémentarité entre l'approche numérique et analytique. 2 3 Méthodes Numériques Objectifs du cours A l'issue de cet enseignement, les étudiants pourront répondre aux questions suivantes: Comment approximer ou interpoler une fonction ? Comment trouver un minimum (ou un maximum) numériquement ? Comment trouver la solution d'un problème linéaire ou non-linéaire ? Comment intégrer ou dériver numériquement une fonction ? Comment résoudre numériquement une équation différentielle ordinaire ? Comment résoudre numériquement une équation aux dérivées partielles ? Comment calculer les valeurs propres d'une matrice ? Comment estimer et mesurer la qualité d'une solution numérique ? 4 Méthodes Numériques Objectifs du cours L'objectif général du cours est l'acquisition de compétences de base en simulation numérique. Cela comporte trois aspects : 1. la maîtrise de méthodes numériques de base, accompagnée d'une compréhension des principes sous-jacents; 2. l'aptitude à l'esprit de rigueur afin de pouvoir valider et estimer la fiabilité d'un résultat numérique; 3. l'implémentation d'une méthode numérique. 3 5 Méthodes Numériques Objectifs du cours A l'issue de cet enseignement, les étudiants seront capables de: distinguer entre réalité physique, modèle mathématique et solution numérique; comprendre les méthodes numériques et leurs propriétés: précision, convergence, stabilité; choisir une méthode en tenant compte d'exigences de précision et de complexité; mettre en œuvre une méthode numérique; interpréter de manière critique des résultats obtenus sur un ordinateur. 6 Méthodes Numériques Objectifs du cours Le cheminement proposé insiste sur le caractère fortement multidisciplinaire des méthodes numériques: analyse, algèbre, algorithmique et implémentation informatique. Face à un problème concret, l'étudiant doit être à même de déterminer s'il convient d'utiliser une méthode numérique. Il doit aussi pouvoir choisir celle qui convient le mieux : conditions de convergence, caractéristiques de coût, de complexité et de stabilité. Il doit être capable d'utiliser ou de programmer des méthodes simples avec des logiciels numériques tels que MATLAB. 4 7 Méthodes Numériques Contenu du cours Analyse d'erreur : erreurs de modélisation, de troncature, convergence et ordre d'approximation, arithmétique en virgule flottante; Approximation et interpolation : polynômes de Lagrange, polynômes orthogonaux, bornes d'erreur et convergence; Intégration et différentiation numériques : méthodes à pas égaux et inégaux, différences centrés et décentrées, techniques récursives et adaptatives; Résolution d'équations différentielles ordinaires (EDO) : méthodes de Taylor et de Runge-Kutta, méthodes à pas multiples, conditions de stabilité; 8 Méthodes Numériques Contenu du cours Résolution d'équations linéaires : méthodes directes et itératives, notions de complexité, calcul de valeurs propres; Résolution d'équations non-linéaires : méthodes d'encadrement et de Newton-Raphson, application à des problèmes d'optimisation; Résolution d'équations aux dérivées partielles (EDP): équation de la diffusion, équation de Laplace et équation des ondes, différences finies et schémas explicites. Laboratoires utilisant Matlab 5 9 Biblioraphie • F. FILBET. Analyse numérique – Algorithme et étude mathématique. Dunod, 2009. • P. LASCAUX et R. THÉODOR. Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. 1. Méthodes directes. Dunod, 2000. • P. LASCAUX et R. THÉODOR. Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. 2. Méthodes itératives. Dunod, 2000. • A. QUARTERONI, R. SACCO et F. SALERI. Méthodes numériques. Algorithmes, analyse et applications. Springer, 2007. DOI : 10.1007/978-88-470-0496-2. 10 Analyse d’erreurs Désastres et calcul numérique Voici qlqs ex. de désastres qui ont eu pour cause une mauvaise compréhension et utilisation des algorithmes de calcul numérique. (extrait de la page web http://www.ima.umn.edu/∼arnold/disasters/) L’erreur de fonctionnement du missile Patriot à Dharan, Arabie Saudite, le 25 février 1991 qui a causé la mort de 28 soldats américains était la conséquence d’une erreur numérique. L’explosion de la roquette Ariane 5 juste après son décollage en Guyane, le 4 juin 1996, fut la conséquence d’une erreur d’overﬂow. L’échouement de la plate-forme pétrolière en Norvège le 23 août 1991, qui eut pour conséquence une perte d’un milliard de dollars, fut le résultat d’une simulation numérique imprécise. 6 11 Analyse d’erreurs Déﬁnition de calcul numérique • Nous proposons une déﬁnition formelle de calcul numérique basée sur la déﬁnition de Nick Trefethen (Oxford University): Le calcul numérique est une discipline qui traite de la conception, l’analyse et l’implémentation d’algorithmes pour la résolution numérique des problèmes mathématiques continus qui proviennent de la modélisation des phénomènes réels. Cette déﬁnition s’appuie sur plusieurs notions, comme celle de modèle, de problème et d’algorithme. 12 Analyse d’erreurs Du modèle au problème mathématique L’utilisation d’un modèle pour la résolution d’un problème pratique passe à travers la résolution d’un problème mathématique. : Les modèles mathématiques continus prennent typiquement la forme d’un ensemble d’équations (algébriques ou différentielles) et/ou inéquations avec paramètres (connus et/ou inconnus) 7 13 Généralités sur l’analyse numérique et le calcul scientiﬁque L’analyse numérique (numerical analysis) est une branche des mathématiques appliquées s’intéressant au développement d’outils et de méthodes numériques pour le calcul d’approximations de solutions de problèmes de mathématiques qu’il serait difficile, voire impossible, d’obtenir par des moyens analytiques. Son objectif est notamment d’introduire des procédures calculatoires détaillées susceptibles d’être mises en œuvre par des calculateurs (électroniques, mécaniques ou humains) et d’analyser leurs caractéristiques et leurs performances. 14 Différentes sources d’erreur dans une méthode numérique Les solutions de problèmes calculées par une méthode numérique sont affectées par des erreurs que l’on peut principalement classer en trois catégories : les erreurs d’arrondi dans les opérations arithmétiques, qui proviennent des erreurs de représentation dues au fait que tout calculateur travaille en précision ﬁnie, c’est-à-dire dans un sous-ensemble discret du corps des réels R, l’arithmétique naturelle étant alors approchée par une arithmétique de nombres à virgule ﬂottante; Les erreurs d’arrondi sont imposées par le calculateur. ces erreurs peuvent induire des problèmes de précision. 8 15 Différentes sources d’erreur dans une méthode numérique les erreurs sur les données, imputables à une connaissance imparfaite des données du problème que l’on cherche à résoudre, comme lorsqu’elles sont issues de mesures physiques soumises à des contraintes expérimentales ; 16 Différentes sources d’erreur dans une méthode numérique les erreurs de troncature, d’approximation ou de discrétisation, introduites par les schémas de résolution numérique utilisés. Comme par exemple: le fait de tronquer le développement en série inﬁnie d’une solution analytique pour permettre son évaluation; Le fait d’arrêter un processus itératif dès qu’un itéré satisfait un critère donné avec une tolérance prescrite; ou encore le fait d’approcher la solution d’une équation aux dérivées partielles en un nombre ﬁni de points. 9 17 Différentes sources d’erreur dans une méthode numérique les erreurs de troncature, d’approximation ou de discrétisation, introduites par les schémas de résolution numérique utilisés. Comme par exemple: Si une fonction est approchée par son développement de Taylor, l’erreur de troncature sera obtenue par une évaluation du reste du développement. Au voisinage d’un point a, si une fonction ݂admet un développement de Taylor de la forme: 18 Différentes sources d’erreur dans une méthode numérique On peut également envisager d’ajouter à cette liste les erreurs qualiﬁées d’« humaines », telles: les erreurs de programmation; ou causées par des dysfonctionnements des machines réalisant les calculs. Le présent chapitre est en grande partie consacré aux erreurs d’arrondi, aux mécanismes qui en sont à l’origine, à leur propagation, ainsi qu’à l’analyse de leurs effets sur le résultat d’une suite de calculs. L’étude des erreurs de troncature, d’approximation ou de discrétisation constitue pour sa part un autre sujet majeur traité par l’analyse numérique. 10 19 Notions d’erreur absolue et relative Pour mesurer l’erreur entre la solution fournie par une méthode numérique et la solution du problème que l’on cherche à résoudre (on parle encore d’estimer la précision de la méthode), on introduit les notions d’erreur absolue et relative. Soit ݔ ොune approximation d’un nombre réel x. On déﬁnit l’erreur absolue entre ces deux scalaires par |ݔ −ݔ ො|, et, lorsque x est non nul, l’erreur relative par |௫ ି௫ ො| ௫ De ces deux quantités, c’est souvent la seconde que l’on privilégie pour évaluer la précision d’un résultat, en raison de son invariance par changement d’échelle : la mise à l’échelle x →αx et ݔ ො→αݔ ො, ߙ ≠0, laisse en effet l’erreur relative inchangée. 20 Notions d’erreur absolue et relative Evaluation de l’erreur. Rappelons d’abord quelques notion de base: −Si X est une quantité à calculer et X* la valeur calculée, on dit que : X−X* est l’erreur et |E|=|X −X*| est l’erreur absolue. Exemple : Si X = 2,224 et X* = 2,223 alors l’erreur absolue |E|=|X −X*| = 2,224 −2,223 = 0,001 11 21 Notions d’erreur absolue et relative Erreur relative ܧݎ = ௑ ି௑∗ ௑ೝ est l’erreur relative, avec Xr ≠0. Xr est une valeur de référence pour X . En général ,on prend Xr = X. Exemple : Si X = 2,224 et X* uploads/Management/ cours-de-methode-numerique-2016-bac-ii-esi-1.pdf