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Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 1 Projet pédagogique - site WEB Méthodes

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 1 Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application Méthode des Eléments Finis « MEF » UE-35 : MEEFI H. OUDIN MMGC – SIM herve.oudin@ec-nantes.fr Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 2 Objectifs de cet enseignement Présenter les principes de base de la MEF Problèmes élémentaires « comprendre » Formulations variationnelles « généraliser » Méthodes numériques « appliquer » Î Parcours pédagogique (site Web, poly) – Treillis – Portiques – Méthodes variationnelles « EDP » – Méthodes numériques – MEFLAB Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 3 Objectifs de cet enseignement Présenter la notion de Modèle Hypothèses de modélisation Comment formuler un problème de physique pour pouvoir le traiter numériquement Hypothèses de discrétisation Comment le traiter numériquement. Utiliser un code de calcul industriel Aborder les problèmes d’analyse et de validation de modèles via des exemples simples. Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 4 L’étudiant est l’acteur principal de sa formation Le parcours pédagogique est organisé en thèmes Projet pédagogique Activités proposées Comprendre Vidéo & Présentations PowerPoint (site) Apprendre Polycopié + exercices corrigés (site) + QCM (site) Appliquer Exercices (site) – MEFLAB (site) – Maple Valider Exercices traités en TD Travail en Autonomie Supports pédagogiques sur le WEB + le poly Vous pouvez travailler chez vous Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 5 Site WEB Projet pédagogique Le menu donne accès aux documents en ligne Objectifs : Travail en autonomie régulier Pouvoir réagir en TD sur vos difficultés https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/ Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 6 Les TD Valider votre compréhension des principaux points de cours, Répondre à vos questions sur le thème étudié. Conférence (2*1h) Grégory LEGRAIN « l’erreur de discrétisation » Nicolas CHEVAUGEON « XFEM » Projet pédagogique Pour finir Evaluation Note individuelle (coef 7) DS sans documents Note collective (coef 4) Projet pondéré par votre TA Travail personnel avant les TD Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 7 Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application Méthode des Eléments Finis Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 8 Méthodes d’approximation : généralités Système physique continu Formulation mathématique du problème (PTV) Forme Variationnelle (EDP) Formes différentielles Problème aux limites Mise en équations formulation mathématique du problème Résidus pondérés Discrétisation Formes intégrales Forme matricielle Système physique discret Discrétisation du milieu Méthodes des éléments finis Formulation mathématique du problème (éq. de Lagrange) Méthodes Numériques Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 9 Résidus Pondérés : Formulation Modèle math. posé sur un domaine continu Î Système d'équations différentielles : "EDP" ( ) 0 u dV ϕ ϕ ⇔∀ = ∫ D R Résoudre ( , ) ( ) ( ) 0 M t u u f = − = R L sur D 1ère forme intégrale Ne tient pas compte des conditions aux limites du problème fonction de pondération Annulation du Résidu pondérée sur le domaine Si u solution approchée R(u) : résidu (erreur commise) ( , ) C( ) M t M D u e ∀ ∈∂ = M D ∀ ∈ ( , ) ( ) M t u f = L Conditions aux limites Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 10 ( ) 1 i n M i i q u w = =∑ Soit une approximation à n paramètres: Résidus Pondérés : Approximation Une équation à n inconnues 1 ( ) 0 n i qi w dV i ϕ ϕ ∑ = ∀ = ∫ D R Comment construire un système matriciel ? Fcts de forme Attention Fcts de forme doivent vérifier toutes les CL en pratique c’est impossible pour un Pb de l’ingénieur 1 1 ( ) 0 j n (M) w (M) q i j j i de à n P dV = ∑ ∀ = ∫ D R Nombre fini de Fcts de pondération Système matriciel Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 11 Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite ∀ ∈ M Γ 0 u = elle vérifie les conditions aux limites Soit l’approximation à 1 paramètre 2 2 2 2 ( , ) ( )( ) x y u a y q x a = − − « Galerkin » « collocation » 2 1 2 0, 25 p p q a μ − = − A 2 1 2 0,31 p p q a μ − = − A 2 2 1 0, 2947 p p a μ − − A Solution de référence au centre ∀ ∈ M Ω 2 1 ( ) p p u μ − Δ = A Coefficient de viscosité cinématique du fluide. Résidus Pondérés : Exemple ( , ) u u x y z = G G le champ des vitesses Champ inconnu Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 12 Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application Méthode des Eléments Finis Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 13 Formulation variationnelle EDP 0 dans sur R(u) D CL D = ⎧ ⎨ ∂ ⎩ 0 sur D R(u) CL D ϕ ϕ ⎧∀ = ⎪ ⎨ ∂ ⎪ ⎩ ∫ Forme intégrale 1 Objectif : transformer la Forme intégrale 1 Pour faire apparaître les CL Î intégration par parties Formulation forte TH d'Ostrogradsky ( ) ( ) 2 1 , , 0 1 sur D g u h u CL ϕ ϕ ϕ Γ ⎧∀ + = ⎪ ⎨ Γ ⎪ ⎩ ∫ ∫ 0 sur D R(u) CL D ϕ ϕ ⎧∀ = ⎪ ⎨ ∂ ⎪ ⎩ ∫ Forme intégrale 1 CL sur les « flux » : dérivées spatiales de u 2 2 sur C L Γ Formulation faible « PTV » Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 14 Conduction thermique dans un Four Champ inconnu : T température 2 1 div 0 dans . sur sur ext d d q r q n T T ∂ ∂ + = Ω = Φ Ω = ⎪ ⎪ ⎩ Ω ⎧ ⎨ G G G (div ) 0 T q r T dV δ δ Ω ∀ + = ∫ G Annulation de l’erreur pondérée Four Pièce à chauffer Résistance 2 Τ o Γ Flux nul Flux nul o Γ 1 Τ Formulation variationnelle : Exemple EDP Condition de flux Condition sur T g ra d q T λ = − JJJJG G flux de chaleur avec 2 1 . 0 i d T gradT grad T dV r TdV TdS TdS ∂ ∂ δ λ δ δ δ δ Ω Ω Ω Ω ∀ + + Φ Φ + = ∫ ∫ ∫ ∫ JJJJJ G JJJJJ G flux inconnu C’est la forme variationnelle du problème Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 15 2 grad . grad 0 Th admissible d T T T dV r TdV TdS ∂ δ λ δ δ δ − Ω Ω Ω ∀ + + Φ = ∫ ∫ ∫ JJJJ G JJJJ G Nous obtenons une équation à 1 champ « T » Ce que nous venons de présenter pour un Pb de conduction thermique Peut être fait pour d’autres Pb de physique (cours en ligne, poly, exo de cours) 1 sur d T T ∂ = Ω Il faut satisfaire la condition : Résultat MEFLAB d’optimisation des résistances pour que la température dans la pièce soit proche de la consigne fixée (c’est un projet EF). La Formulation variationnelle est directement utilisable dans la Méthode des Éléments Finis . Choix 1 0 sur T δ ∂ = Ω Champ virtuel thermiquement admissible Formulation variationnelle : Exemple Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 16 Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Méthodes variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application Méthode des Eléments Finis Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 17 Méthode des Eléments Finis : MEF Idées de base Point de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis • forme simple • approximation sur des variables physiques Domaine continu Domaine discrétisé Forces nodales Déplacements imposés Charge répartie Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 18 Approximation Éléments Finis e e D D W W = ⇒ = ∑ ∪ 2 . : . . 0 CA D D D D u u u dV dV f u dV T u dS δ ρ δ σ δε δ δ ∂ ∀ + − − = ∫ ∫ ∫ ∫ G G G G G G G Formulation Variationnelle ⇔PTV en Mécanique 1 sur : 0 d u u D u δ = ⎧ ∂ ⎨ = ⎩ G G G G Efforts donnés sur 2 D ∂ MEF : Approximation éléments finis et u u δ G G (Galerkin) Mêmes familles de fonctions pour Pour chaque élément : { } [ ]{ } ( ( ) ) M M e N u U = { } [ ]{ } ( ) M e N u U δ δ uploads/Management/ cours1-amphi.pdf