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Devoir libre 1 1 Devoir libre CPGE Alkhansaa ECS Yassin Staili Professeur agrégé de Mathématiques staili yassin gmail com Exercice Khalil Jamal et Nacer sont auditionnés par la police à la suite d ? un crime commis par l ? un d ? entre eux Tous les trois

Devoir libre CPGE Alkhansaa ECS Yassin Staili Professeur agrégé de Mathématiques staili yassin gmail com Exercice Khalil Jamal et Nacer sont auditionnés par la police à la suite d ? un crime commis par l ? un d ? entre eux Tous les trois font chacun deux a ?rmations Les voici Khalil dit Je suis innocent Jamal est aussi innocent ? Jamal dit Khalil est innocent C ? est Nacer le coupable ? Nacer dit Je suis innocent C ? est Khalil le coupable ? Par la suite les enquêteurs établissent avec certitude que l ? un d ? entre eux a fait deux a ?rmations vraies un autre a fait deux a ?rmations fausses et le troisième a fait une a ?rmation vraie et l ? autre fausse Qui est coupable Les réponses doivent être soigneusement argumentées Exercice On considère les ensembles suivants A B C D ? E F et G Déterminer les relation d ? inclusions et d ? égalité entre ces ensembles Déterminer A ?? B F ?? G et A F Exercice Soient E un ensemble non vide et A B deux parties de E On dé ?nit la di ?érence symétrique ? de A et B par A ? B A B ?? B A Véri ?er que A ? B A ? B Déterminer A ? ? A ? E A ? A et A ? A Résoudre l ? équation A ? X ? Exercice Dans cet exercice on se propose de déterminer toutes les fonctions f R ? R véri ?ant ??x y ?? R f x ?? f y ?? x ?? y Dans cette question on suppose qu ? il existe une fonction f véri ?ant la propriété ci-dessus a Prouver que f b En déduire que ??x ?? R f x ?? ?? x c En déduire l ? expression de f x en fonction de x Conclure ?? Exercice Résoudre l ? équation x ?? x Résoudre l ? inéquation x ?? x ? x ?? Exercice Soit n ?? N ? Montrer que si n est le carré d ? un entier alors n ne peut pas être le carré d ? un entier Montrer que ??n m ?? Z nm ?? n et m Montrer que x y z ?? R x y z ? a b a b a b a b ?? R Montrer que x y ?? R x y ?? t ?? t t ?? R C