Master 1 Math´ ematiques 2008 Corrig´ e de la feuille de TD 3 : Cat´ egories et

Master 1 Math´ ematiques 2008 Corrig´ e de la feuille de TD 3 : Cat´ egories et Foncteurs Gr´ egory Ginot Avant de commencer le corrig´ e proprement dit, on rappelle que deux foncteurs G : C →D et D : D →C sont adjoints si et seulement si on a un isomorphisme de bifoncteur HomD(G(·), ·) Ag . ∼ HomC(·, D(·)) Ad n o` u Ag et Ad sont inverses l’un de l’autre. Ceci est ´ equivalent ` a dire que pour tout f ∈HomC(X, X′) et g ∈HomD(Y, Y ′) on a un diagramme commutatif dont les fl` eches horizontales sont des isomorphismes : HomD(G(X), Y ) Ag(X,Y ) . g∗  ∼ HomC(X, D(Y )) Ad(X,Y ) n D(g)∗  HomD(G(X), Y ′) Ag(X,Y ′) . ∼ HomC(X, D(Y ′)) Ad(X,Y ′) n HomD(G(X′), Y ′) Ag(X′,Y ′) . G(f)∗ O ∼ HomC(X′, D(Y ′)) Ad(X′,Y ′) n f∗ O (Adj) Notons que, pour g : Y →Z, l’application g∗: HomD(X, Y ) →HomD(X, Z) est simplement la composition par g; c’est ` a dire l’application f 7→g ◦f. La partie sup´ erieure du diagramme traduit donc le fait que Ag(X, ·) et Ad(X, ·) est un morphisme de foncteur (pour la deuxi` eme variable) alors que la partie basse traduit le fait que Ag(·, Y ) et Ad(·, Y ) est un morphisme de foncteur (pour la premi` ere variable). Puisque Ag et Ad sont inverse l’un de l’autre, on a Ag(X, Y ) = Ad(X, Y )−1 pour tous objets X, Y . Exercice 1. Soit C une cat´ egorie. On note IdC : C →C le foncteur identit´ e et End(IdC) l’ensemble des endormorphismes de foncteurs de IdC. Montrer que la loi de composition des morphismes de foncteurs se restreint ´ a End(IdC) et est commutative. Solution 1. Par d´ efinition d’un morphisme de foncteur (aussi appel´ e transformation naturelle), on a qu’un ´ el´ ement h de End(IdC) est la donn´ ee d’une famille de fl` eches hA : A →A dans la cat´ egorie C (pour tout objet A ∈C) v´ erifiant que quel que soit A f →B, le diagramme suivant soit commutatif A f / hA  B hB  A f / B . Rappelons qu’un morphisme de foncteur la compos´ ee de deux endormorphismes de foncteurs h, g est obtenue par composition des fl` eches hA et gA; c’est ` a dire (g ◦h)A = gA ◦hA. En prenant f = gA dans le digramme pr´ ec´ edent, on obtient imm´ ediatement que gA ◦hA = hA ◦gA pour tout objet A ce qui conclut l’exercice. 1 Exercice 2. Soit f : A →B un morphisme d’anneaux commutatifs unitaires. (1) Montrer que (a, b) 7→f(a)b munit B d’une structure de A-module. (2) Montrer que f induit un foncteur naturel Rf : B −mod →A−mod tel que Rf(B) = B muni de la structure de A-module donn´ ee par (1). (3) Montrer que le produit tensoriel par B au dessus de A, N 7→B ⊗A N, d´ efinit un foncteur A−mod →B−mod. Montrer que ce foncteur B ⊗A −est adjoint ` a gauche de Rf. Solution 2. Cet exercice est la suite/le compl´ ement des exercices 1 de la feuille 1 et 3 de la feuille ”0”. Rappelons qu’un morphisme de modules n’est rien d’autre qu’un morphisme de groupes ab´ eliens qui pr´ eserve l’action de l’anneau. (1) Cette question est un r´ esultat de cours. La lin´ earit´ e ` a droite de la multiplication donne celle de b 7→f(a)b. Comme f est un morphisme d’anneaux on obtient sans peine f(aa′)b = (f(a)f(a′))b = f(a)(f(a′)b), f(a + a′)b = f(a)b + f(a′)b. (2) D´ ej` a, on doit associer ` a tout B-module M un A-module Rf(M), c’est ` a dire un groupe ab´ elien muni d’une action de A. Au vu de (1), on choisit Rf(M) = M comme groupe ab´ elien (et donc comme ensemble aussi). Il reste ` a d´ efinir la structure de A-module. On prend ´ evidemment (a, m) 7→f(a) · m o` u · d´ esigne l’action de B sur M. Comme en (1); cela d´ efinit bien une action. Si h : M →N est un morphisme de B-module, c’est en particulier un morphisme de groupes ab´ eliens. On prend Rf(g) : Rf(M) →Rf(N) comme ´ etant ´ egal ` a f vu comme un morphisme de groupes ab´ eliens. Il est imm´ ediat de v´ erifier que sa B-lin´ earit´ e entraine sa A-lin´ earit´ e pour l’action de A d´ efinie pr´ ec´ edemment. On a aussi imm´ ediatement Rf(g ◦h) = Rf(g)◦Rf(h) (cette propri´ et´ e n’ayant rien ` a voir avec les actions d’anneaux d’ailleurs). (3) Comme B est un A-module, B ⊗A N existe et est un A-module. On le munit d’une structure de B-module par la formule (b, b′ ⊗A n) 7→bb′ ⊗A n (cf. la correction de l’exercice 3 de la feuille de TD 1). Si M f→N est un morphisme de A-modules, on d´ efinit B ⊗A f : B ⊗A M →B ⊗A N comme le morphisme IdB ⊗f (c’est ` a dire B ⊗A f(b ⊗m) = b ⊗f(m)). Il est clair que B ⊗A f est B-lin´ eaire et qu’on a ainsi d´ efini un foncteur A−mod →B−mod. Il faut maintenant voir les propri´ et´ es d’adjonction. Soit f : B ⊗A N →M une application B-lin´ eaire. Alors pour tout b, n on a f(b ⊗A n) = f(b.(1 ⊗A n)) = b.f(1 ⊗A n) (0.1) et f est donc uniquement d´ etermin´ ee par n 7→f(1⊗A n). De plus l’application ˜ f : n 7→f(1⊗A n) est une application entre les groupes ab´ eliens N et M = Rf(M) (comme groupe ab´ elien) et est A-lin´ eaire (par un calcul imm´ ediat). Il r´ esulte de (0.1), que l’application Ag(M, N) : f 7→˜ f est une bijection. Son inverse est donn´ e par l’application Ad(M, N)(g) = (b ⊗A n) 7→bg(n) pour tout g : N →Rf(M) (cela a bien du sens, puisque M est un B-module par hypoth` ese). On a donc obtenu l’existence des isomorphismes HomB(B ⊗A N, M) Ag(M,N) . ∼ HomA(N, Rf(M)). Ad(M,N) n Il reste ` a voir que ce sont des isomorphismes de bifoncteurs. C’est tr` es facile puisque la construc- tion de Ag et Ad ne d´ epend pas de M et N mais juste du fait que ce sont des A-modules et B-modules. Plus pr´ ecis´ ement; Ag(M, N)(f)(n) = f(1 ⊗B n) d’o` u, pour tout g ∈Hom(M, M′), on a Rf(g)∗ Ag(N, M)(f)  (n) = g∗ Ag(N, M)(f)  (n) = g f(1 ⊗B n  = (g ◦f)(1 ⊗B n) = Ag(N, M′)(g ◦f). On d´ emontre de mˆ eme la commutativit´ e du rectangle du bas du diagramme (Adj). 2 Remarque 1. Dans la question (2), il est tentant (et intuitivement correct) de penser qu’on prend ”l’identit´ e” pour Rf. Ceci n’a ´ evidemment pas de sens puisque que Rf est un foncteur entre deux cat´ egories diff´ erentes. Ceci dit, si on le compose avec les foncteurs oublis UB : B−mod →Ab, UA : A−mod →Ab vers la cat´ egorie des groupes ab´ eliens alors on a bien UA ◦Rf = UB. Exercice 3. (´ epimorphismes, monomorphismes et isomorphismes) (1) Montrer que, dans la cat´ egorie Set des ensembles, un morphisme est un monomorphisme (resp. ´ epimorphisme) si et seulement si c’est une application injective (resp. surjective). (2) Montrer que, dans la cat´ egorie Ring des anneaux, le morphisme canonique Z →Q est un ´ epimorphisme. (3) Montrer que dans la cat´ egorie Top des espaces topologiques, il existe des morphismes qui sont ` a la fois un ´ epimorphisme et un monomorphisme mais pas un isomorphisme (indication : consid´ erer X , →Y un sous-ensemble dense de Y ) Solution 3. (1) Soit f : A →B une application injective. Alors, pour tout g, h : X →A, f ◦g = f ◦h implique f(g(x)) = f(h(x)) pour tout x et, par injectivit´ e, g(x) = h(x) ce qui donne h = g. R´ eciproquement, supposons que f : A →B est un monomorphisme. Alors pour tout x, y ∈A avec f(x) = f(y), on d´ efinit gx : {pt} →A et gy : {pt} →A par gx(pt) = x et gy(pt) = y. On a donc f ◦gx = f ◦gy d’o` u gx = gy (car f est un monomorphisme) et donc x = y. Supposons maintenant f : A →B surjective et soit g, h : B →C avec g ◦f = h ◦f. Alors pour tout b ∈B, il existe a ∈A tel que f(a) = b; d’o` u g(b) = g(f(a)) = h(f(a)) = h(b) et g = h. R´ eciproquement, supposons qu’il existe x ∈B −f(A) (c’est ` a dire f non-surjective), alors soit g : B →{pt, x} l’application b 7→pt et soit h : uploads/s3/ corrige-td3-ta2008.pdf

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