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Analyse II API I/2019-2020/S2 Devoir Pour les r´ eponses : - Ecrire d’une mani`

Analyse II API I/2019-2020/S2 Devoir Pour les r´ eponses : - Ecrire d’une mani` ere propre et lisible. - Utiliser des feuilles blanches format A4. - Inscrire votre nom et pr´ enom sur chaque feuilles, (Nom en premier). - Scanner vos feuilles de r´ eponses dans le bon ordre sous format *.pdf (en un seul ﬁchier). - Renommer votre ﬁchier pdf sous le format nom.prenom.pdf (Nom en premier). - Envoyer votre ﬁchier ` a laaraj@yahoo.com au plus tard le vendredi 10 Juillet 2020 ` a 23h00. - Inscrire comme objet : Analyse 2 Nom Pr´ enom. - Tout envoie tardif ne sera pas pris en consid´ eration. NB : Mon adresse mail est laaraj@yahoo.com et non laaraj@yahoo.fr Exercice 1. 1) Etudier pour quelles valeurs de n ∈I N l’int´ egrale Jn = Z +∞ 0 dx (x3 + 1)n converge. 2) Calculer J1 puis montrer que si n ≥2, on a Jn+1 = 3n −1 3n Jn. 3) En d´ eduire Jn si n ≥2. Exercice 2. Soit f : ]0, 1[×]0, 1[→R d´ eﬁnie par : f(x, y) = x(1 −y) si y ≤ x (1 −x)y si y > x Etudiez la continuit´ e de f, l’existence des d´ eriv´ ees partielles premi` eres de f ainsi que la continuit´ e des d´ eriv´ ees partielles premi` eres de f. Exercice 3. Soit : f(x, y) = −2(x −y)2 + x4 + y4 1) D´ eterminer les points critiques de f. 2) Calculer la matrice Hessienne de f en tout point (x,y) de R2. 3) En d´ eduire la nature des ses points critiques. Exercice 4. Soient les points A = (1,0), B = (0,1) et C = (1,1). Calculer les trois int´ egrales curvilignes : Ik = Z Γk (y2 −y)dx −2(x2 −x)dy K = 1, 2, 3 o` u Γ1 est la ligne bris´ ee OAC, Γ2 la ligne bris´ ee OBC et Γ3 le segment OC. Le r´ esultat est-il d´ ependant du chemin suivi ? M. Laaraj et K. Adnaoui ENSAM - UH2 de Casablanca uploads/Management/ devoir 72 .pdf