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Devoir splines pdf Agrégation Externe de Mathématiques UPS - Option B Examen du Janvier Splines cubiques Il est important de rédiger de façon claire ET synthétique On peut bien entendu admettre le résultat de n ? importe quelle question pour passer à la s

Agrégation Externe de Mathématiques UPS - Option B Examen du Janvier Splines cubiques Il est important de rédiger de façon claire ET synthétique On peut bien entendu admettre le résultat de n ? importe quelle question pour passer à la suivante PARTIE THÉORIQUE A propos de l ? interpolation de Hermite On se donne deux points distincts xg xd ainsi que quatre réels yg yd zg et zd Montrer que l ? application linéaire F EB F F p xg R X ? F EC F F p xg F EC F ED p xd F F F F p xd est bijective o? on rappelle que R X est l ? ensemble des polynômes à coef ?cients réels de degré inférieur ou égal à En déduire qu ? il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à véri ?ant F F p xg yg F F F F F F F F p xd yd F F F F F F F F p xg zg p xd zd Ce polynôme est appelé le polynôme d ? interpolation de Hermite pour ces données Donner une expression explicite de p en fonction des données On pourra chercher p sous la forme p x q x x ?? xg x ?? xd q x o? q et q sont des polynômes de degré inférieur ou égal à que l ? on déterminera par exemple dans la base des polynômes x ?? xg et x ?? xd Montrer qu ? il existe une constante universelle C i e indépendante des x ? y ? et z ? telle qu ? on ait sup p x ? C yg yd C xd ?? xg zg zd x ?? xg xd Calculer p xg et p xd en fonction de xg xd yg yd zg zd Soit maintenant f une fonction de classe C On suppose que les données d ? interpolation sont dé ?nies par yg f xg yd f xd zg f xg et zd f xd Montrer que dans ces conditions le polynôme de Hermite p véri ?e l ? estimation d ? erreur suivante ??x ?? xg xd ?? ?? xg xd tel que f x ?? p x x ?? xg x ?? xd f En déduire que sup f ?? p ? xd ?? xg xg xd f ? Page CAgrégation Externe de Mathématiques UPS - Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante On se donne des points x xn équi-distants ainsi que n valeurs y yn et deux autres réels zd et zn On notera h le pas de la subdivision i e xi ?? xi h pour tout i Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant il existe une unique fonction ? x xn ? R véri ?ant ? est de classe C sur x xn P ? interpole les valeurs données i e ? xi yi ??i n P La restriction de ? à chaque intervalle xi