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Département de Mathématiques Pr. H. Douzi & Pr. A. Bouidi Durée 1h30’ Examen d’

Département de Mathématiques Pr. H. Douzi & Pr. A. Bouidi Durée 1h30’ Examen d’Analyse Numérique SMA4-SMI4 ; Juillet 2016 On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats Questions de cours 1. Donner la définition du conditionnement d’une matrice. Quel est son rôle en analyse numérique ?. Le conditionnement d’une matrice A est défini par : 1 ) (    A A A cond Il permet de mesurer la stabilité des résultats face aux incertitudes sur les données. 2. Donner l’algorithme d’une méthode de point fixe. Données : x0, g, epsilon Variables xn, xn1 xn1  x0 tant que ( |g(xn1)-xn1| > epsilon) faire xn  xn1 xn1  g(xn) fin tant que Résultat dans xn1 3. On considère le nombre rationnel x=20,8125 : Calculer x en base 2 et donner sa représentation en virgule flottante avec une mantisse de longueur 8 et un exposant compris entre -10 et 10. 10010110 , 0 2 1101 , 10010 5     x Problème 1 (Problème linéaire) On considère le système linéaire b Ax  donné par :                   0 5 4 3 0 4 3 2 1 3 2 z y x z y x z y x 1. Vérifier que la matrice A est inversible ? 19440 9 ) det(  A donc A est inversible 2. Résoudre le système en utilisant la méthode de Gauss www.goodprepa.tech                                                                1 30 1 6 6 1 3 2 2 2 3 3 1 15 4 4 1 6 6 1 3 2 1 3 1 3 1 2 1 2 0 5 4 3 0 4 3 2 1 3 2 z z y z y x z y z y z y x z y x z y x z y x Ce qui donne par le processus de remontée :          30 36 9 z y x 3. Donner décomposition de cholesky LLT de A ? On a :                                    33 32 22 31 21 11 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 l l l l l l l l l l l l donc :                                    5 6 1 5 1 6 3 4 1 6 3 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 33 2 33 2 32 2 31 32 22 32 21 31 22 2 22 2 21 31 11 31 21 11 21 11 2 11 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l Problème 2 (Problème non linéaire) Soient les deux fonctions : 2 , 0 ) 1 ln( ) (     x x x f et 2 , 0 ) 1 ln( ) (    x x g définies sur  . 1. Montrer que f admet une racine unique l sur   0 1 ) ( '     x x x f pour x positif donc f admet au plus une seule racine. D’autre part on a 0 2 , 0 1 ) 2 ln( ) 1 ( 0 2 , 0 ) 0 (       f et f donc la racine existe. 2. Montrer que la racine est localisée sur l’intervalle [0,7 ; 1,1]. Ensuite réduire l’intervalle par Dichotomie afin de localiser la racine sur un intervalle de longueur 0,1. 0 9 , 0 ... 7419 , 0 9 , 0 ) 1 , 2 ln( ) 1 , 1 ( 0 5 , 0 ... 5306 , 0 5 , 0 ) 7 , 1 ln( ) 7 , 0 (           f f donc la racine est dans l’intervalle [0,7 ; 1,1] 1er dichotomie : 0 7 , 0 ... 6418 , 0 7 , 0 ) 9 , 1 ln( ) 9 , 0 ( 2 1 , 1 7 , 0 9 , 0        f et Donc la racine se trouve dans [0,7 ; 0,9] 2eme dichotomie : 0 6 , 0 ... 5877 , 0 6 , 0 ) 8 , 1 ln( ) 8 , 0 ( 2 9 , 0 7 , 0 8 , 0        f et Donc la racine se trouve dans [0,7 ; 0,8] de longueur 0,1 3. Vérifier que g vérifie les conditions du théorème de point fixe pour le problème 0 ) (  x f sur l’intervalle de longueur 0,1. On a :   8 , 0 7 , 0 1 1 1 ) ( ' 0      x pour x x g De plus on a     8 , 0 ; 7 , 0 ..... 7877 , 0 2 , 0 ) 8 , 1 ln( ) 8 , 0 ( 8 , 0 ; 7 , 0 ..... 7306 , 0 2 , 0 ) 7 , 1 ln( ) 7 , 0 (         g g Ainsi     8 , 0 ; 7 , 0 ) 8 , 0 ; 7 , 0 (  g 4. Etudier la convergence de la méthode de point fixe donné par la fonction g sur l’intervalle de longueur 0,1. D’après le théorème de point fixe, la méthode est convergente pour toute suite            n n n n x g x x par définie x 1 0 0 8 , 0 ; 7 , 0 uploads/Management/ exam-an-juillet-16-corrige.pdf