Première Année MI-À distance Module : Analyse1 Fiche de révision1: Les nombres

Première Année MI-À distance Module : Analyse1 Fiche de révision1: Les nombres réels 2020-2021 Réalisé par : Mme Belkacem .K, Mme Touil .A, et Mme Merzougui .L. République Algérienne Démocratique Et Populaire Ministère de L’enseignement Supérieur et De La Recherche Scientifique Université de Mustapha Ben Boulaid -Batna 2 Faculté de Mathématiques et informatique Département du socle commun Mathématiques et Informatique Dans la première partie de cette fiche, nous allons mettre le vocabulaire principal introduit dans ce chapitre et dans la 2ème partie, nous présentons un rappel sur les nombres réels avec des exemples illustratifs. La 3ème partie est consacrée pour des exercices d’applications. Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Table des matières I Interprétation en arabe des principaux termes Mathématiques introduit dans ce cha- pitre 3 II Rappel sur les nombres réels 6 1 Les ensembles usuels de nombres 6 2 Axiomes des nombres réels 6 3 Rappel sur le vocabulaire de base (majorant, minorant, ensemble borné, maximum, minimum, borne supérieure et borne inférieure) 8 III Entrainements 12 4 Exercice corrigé 1 (Application de la propriété d’Archimède dans R) 12 5 Exercice corrigé 2 (Valeur absolue) 12 6 Exercice corrigé 3 (Partie entière) 13 7 Exercice corrigé 4 13 8 Exercice corrigé 5 (Sous ensemble d’un ensemble borné) 14 9 Exercice corrigé 6 (Union de deux ensembles bornés) 15 10 Exercice corrigé 7 (Intersection de deux ensembles bornés) 17 11 Exercice corrigé 8 (Calcul min, max, sup et inf) 18 12 Exercice corrigé 9 (Calcul min, max, inf et sup) 20 13 Exercice corrigé 10 (Calcul du max, min, sup, inf) 23 14 Exercice corrigé 11 (Ensemble minoré, majoré et borné) 25 15 Exercice corrigé 12 (Ensemble borné, calcul de sup, inf, max, min) 27 16 Exercice corrigé 13 (L’insuffisance des nombres irrationnels) 30 2 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Première partie Interprétation en arabe des principaux termes Mathématiques introduit dans ce chapitre 3 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Le cours €PYË@ TD (Travaux Dirigés)  éêk . ñÖÏ@ ÈAÔ« B@ Rappel Q » Y K Série d’exercices áK PAÒ JË@  é‚ʃ chapitre Pñm× Introduction  éÓY ®Ó Théorème  éK Q ¢ Axiome  éÒÊ‚Ó Proposition  éJ ’ ¯ Hypothèse  éJ “Q ¯ Définition ­K Qª K Remarque  é ¢kCÓ On remarque, on constate ¡kC K Exemple ÈA JÓ Conclusion  éj . J  K Propriété  éJ “A g Lemme  é J£ñ K On note QÓQ K Notation Q ÓQ K On distingue Q Ö ß Cas  éËAg Dans ce cas  éËAmÌ'@ è Yë ú ¯ Ci-dessus èC« @ Ci-dessous èA KX @ Respectivement I .  KQ Ë@ ú Ϋ C’est à dire (c-à-d) ú æªÖß. i.e ø @ Exercice áK QÖ ß Énoncé áK QÒ JË@ ‘ Question È@ ñƒ Réponse H . @ñk . Solution ÉmÌ'@ Montrer que à @  I . K @ Démontrer que à @ á K. Démonstration àAëQK. Prouver que à @ á K. Preuve  HAJ. K@ , àAëQK. Vérifier que à @  ‡ ®m ' Vérification  ‡ ®m ' ,  ‡J  ®m ' Justifier PQK. ,ÉÊ« Justification QK Q . K ,ÉJ ʪ K Déterminer XYg Trouver Yg . ð @ Calculer I . ‚k @ Opération  éJ ÊÔ« Usuelle  é ¯ñË AÓ Addition ©Ôg . Multiplication H . Qå • Corps É ®k Commutatif ú ÎK YJ. K Totalement ordonné AJ Ê¿ I .  KQÓ Partiellement ordonné AJ K Qk . I .  KQÓ Relation  é ¯C« Ordre I .  KQ K Réflexive  éJ ƒA¾ª K@ Antisymétrique  éK Q £A J K Y “ Transitive  éK Yª JÓ Partie Z Qk . Non vide ÈA g Q « Soit, Soient áºJ Ë On dit que à @ Èñ ® K On considère Q . Jª K Aussi A ’ @ Pour tout É¿ Ég . @ áÓ Donc, alors @ X@ Majorant úΫ B@ áÓ XAg Minorant ú GX B@ áÓ XAg Unique YJ kð Appartenir ù Ò J K Ensemble borné  èXðYm×  é«ñÒm.× Ensemble borné inférieurement ú GX B@ áÓ  èXðYm×  é«ñÒm.× 4 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Déduire i .  J J ƒ@ Déduction h . A J J ƒ@ répondez par vraie ou faux B ð @ Ѫ K H . I . k . @ Les nombres réels  éJ  ®J  ®mÌ'@ X@Y« B@ Ensemble  é«ñÒm.× Muni Xð QÓ Ensemble borné supérieurement úΫ B@ áÓ  èXðYm×  é«ñÒm.× Maximum (max) Qå” J« Q .» @ Minimum (min) Qå” J« Q ª“ @ Borne supérieure (sup) úΫ @ Yg Borne inférieure (inf) ú GX @ Yg . Propriété de la borne supérieure úΫ B@ YmÌ'@  éJ “A g Caractérisation de la borne supérieure úΫ B@ YjÊË  è Q ÒÖÏ@  éJ “A mÌ'@ 5 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Deuxième partie Rappel sur les nombres réels 1 Les ensembles usuels de nombres On rappelle les notations usuelles pour les ensembles de nombres : — N est l’ensemble des entiers naturels positifs {0, 1, 2, .....}. — Z est l’ensemble des entiers relatifs {...., −2, −1, 0, 1, 2, .....}. — Q est l’ensemble des rationnelles, i.e Q = {a b ; a ∈Z, b ∈N⧹{0}}. — R représente l’ensemble des nombres réels et l’on a les inclusions suivantes : N ⊂Z ⊂Q ⊂R. — L’ensemble R \ Q est appelé l’ensemble des irrationnelles. — Pour chacun de ces ensembles, l’ajout du signe ∗signifie que l’on exclut 0 de l’ensemble : N∗, Z∗, Q∗et R∗. 2 Axiomes des nombres réels On sait que : i) L’ensemble des réels R est muni des opérations usuelles et internes : l’addition + : (x, y) ∈R2 7− →x + y ∈R et la multiplication · : (x, y) ∈R2 7− →x · y ∈R constitue un corps commutatif, c’-à-d : 1) L’addition et la multiplication sont commutatives : ∀x, y ∈R : x + y = y + x et x · y = y · x. 2) L’addition et la multiplication sont associatives : ∀x, y z ∈R : x + (y + z) = (x + y) + z et x · (y · z) = (x · y) · z. 3) L’addition admet un élément neutre 0 tel que : x + 0 = x, ∀x ∈R. et la multiplication admet un élément neutre 1 tel que : x · 1 = x, ∀x ∈R. 4) Pour tout x ∈R, il existe x′ = −x ∈R tel que : x + x′ = 0. et si x ̸= 0, il existe x∗= 1 x tel que : x.x∗= 1. 5) La multiplication est distributive par rapport à l’addition : ∀x, y, z ∈R : x · (y + z) = x · y + x · z. ii) Il y a une relation d’ordre total sur R : R muni de la relation usuelle "inférieur ou égal ≤" est totalement ordonné. C’est à dire la relation ≤vérifie les propriétés suivantes : 1. ≤est réflexive : En effet ; pour tout x ∈R, x ≤x. 2. ≤est antisymétrique : En effet ; pour tout x, y ∈R, si x ≤y et y ≤x, alors, x = y. 3. ≤est transitive : En effet ; pour tout x, y et z dans R, si x ≤y et y ≤z, alors x ≤z. 4. De plus, pour tout x, y ∈R, on a ou bien x ≤y, ou bien y ≤x (les éléments de R sont tous comparables). iii) 6 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Théorème 2.1. (Propriété d’Archimède) R est Archimédien : pour tout x, y ∈R avec x > 0 ; il existe n ∈N∗tel que : nx > y. iv) Définition 2.2. (Valeur absolue d’un réel) Soit x ∈R. On définit la valeur absolue de x, notée |x|, par : |x| =  x si x ≥0, −x si x ≤0. Proposition 2.3. (Propriétés de la valeur absolue d’un réel) (a) Pour tout x ∈R, on a : |x| ≥0, |x| = | −x|, |x| ≥x, |x| ≥−x, |x| = max(−x, x) et |x| = 0 ⇔x = 0. (b) Pour tout x, y ∈R, on a : |xy| = |x||y|, |x| ≤α ⇐ ⇒−α ≤x ≤+α; (α ≥0), |x| −|y| ≤|x + y| ≤|x| + |y| et |x| −|y| ≤|x −y| ≤|x| + |y|. v) Définition 2.4. (Partie entière d’un réel) Soit x ∈R, le plus grand entier inférieur ou égal à x s’appelle la partie entière de x. Nous le noterons E(x) ou bien [x]. Exemple 2.5. E(π) = 3, E(−π) = −4, E(0) = 0, E(1 2) = 0, E(1, 5) = 1, E(−0, 5) = −1 et E(−3 2) = −2. Définition 2.6. (Fonction partie entière) La fonction partie entière uploads/Management/ fiche-de-revision-des-reels.pdf

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  • Publié le Jul 27, 2022
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