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Ds 04 derivation corrige 1

Classe de première S Corrigé de l ? interrogation écrite du vendredi janvier CORRIGÉ DE L ? INTERROGATION ÉCRITE DE MATHÉMATIQUES Exercice points Restitution des connaissances Pré-requis Soit u et v deux fonctions dé ?nies et dérivables sur un intervalle I uv est dérivable sur I et uv ' u ' v uv ' v ne s ? annulant pas sur I v est dérivable sur I et v ' ?? v' v a Soit f une fonction dé ?nie sur un intervalle I et a un réel de I Rappeler ce que signi ?e f est dérivable en a ? b Soit f la fonction dé ?nie sur ? par f x ?? x ?? x Montrer que f est dérivable en et déterminer le nombre dérivé de f en Soit u et v deux fonctions dé ?nies et dérivables sur un intervalle I a Montrer que la fonction f u v est dérivable sur I et que f ' u ' v ' b Démontrer que si v ne s ? annule pas sur I alors u v est dérivable sur I et u v ' u ' v ??uv v ' a Soit f une fonction dé ?nie sur un intervalle I et a un réel de I Soit h un réel non nul tel que a h ?? I Dire que f est dérivable en a ? signi ?e que l ? accroissement moyen de f entre a et a h admet une limite ?nie lorsque h tend vers Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f en a On note lim h ? f a h ?? h f a f ' a b ?? x ?? ? f x ?? x ?? x Soit h un réel strictement positif f h ?? h f ?? h h ?? h ?? ??h lim h ? f h ?? h f Donc f est dérivable en et f ' Soit u et v deux fonctions dé ?nies et dérivables sur un intervalle I a Soit a ?? I et h non nul tel que a h ?? I f a h ?? h f a u a h v a h ?? u h a v a u a h v a h ?? h u a ??v a u a h ?? u a v h a h ?? v a u a h ??u h a v a h ??v h a Or u et v sont dérivables sur I Donc lim h ? u a h ??u h a u' a et lim h ? v a h ??v h a v ' a On a donc lim h ? f a h ?? h f a u ' a v ' a f est dérivable en a est f ' a u' a v ' a a étant quelconque dans I f est dérivable sur I et f ' u ' v ' CClasse de première S Corrigé de l