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Ecs2 td7 correction 1 ECS Lycée Louis Pergaud TD Couples de variables aléatoires discrètes Loi d ? un couple lois marginales et conditionnelles Exercice On considère un couple X Y de variables aléatoires réelles à valeurs dans N pour lequel il existe un r

ECS Lycée Louis Pergaud TD Couples de variables aléatoires discrètes Loi d ? un couple lois marginales et conditionnelles Exercice On considère un couple X Y de variables aléatoires réelles à valeurs dans N pour lequel il existe un réel a tel que la loi de X Y soit dé ?nie par ?? i j ?? N P X i ?? Y j a j i j Déterminer a Déterminer les lois marginales Les variables X et Y sont-elles indépendantes Exercice On désigne par n un entier naturel non nul et on considère n urnes numérotées de à n On suppose que pour tout entier k compris entre et n l ? urne numéro k contient k boules numérotées de à k On choisit au hasard une urne parmi les n et dans cette urne on tire au hasard une boule On note X la variable aléatoire égale au numéro de l ? urne choisie et N la variable aléatoire égale au numéro porté par la boule obtenue Reconnaitre la loi de X ainsi que la loi de N sachant X i pour tout i ?? X Déterminer la loi du couple X N En déduire la loi de N sous forme de somme Calculer l ? espérance et la variance de N Exercice QSP HEC ? Soient X et Y deux variables aléatoires dé ?nies sur un même espace probabilisé A P à valeurs dans N telles que ?? i j ?? N P X i ?? Y j a i j Déterminer le réel a Les variables X et Y sont-elles indépendantes Le réel a doit être positif De plus on doit calculer la série double P X i Y j qui doit converger et dont la somme doit valoir Pour cela étant donné la présence de i j dans le terme général on va procéder à une somme suivant les diagonales comme tout est positif inutile de mettre des valeurs absolues ? Pour tout n ?? N on a P X i Y j n a n n a a n i j n i j n car rappelons le le cardinal de In i j ?? N i j n est n ? La série a n converge car c ? est une série exponentielle et sa somme vaut ae n ? Par le théorème de sommation suivant les diagonales la série double vaut ae Ainsi on a a e ?? P X i Y j converge et elle CECS Lycée Louis Pergaud Étudions à présent l ? indépendance de X et Y On a P X ? P X Y j ? e ?? j ? e ?? j e ?? e ?? ?? e ?? j j j De même on a P Y ?? e ?? et on a P X Y e ?? Ainsi on a pas P X Y P X P Y Donc les variables X et Y ne sont pas indépendantes Fonctions de deux variables discrètes Exercice Soient X